beregning
i dette emne vil vi studere, hvordan man integrerer visse kombinationer, der involverer produkter og kræfter i trigonometriske funktioner.
vi overvejer \(8\) sager.
for at evaluere integraler af produkter af sinus og cosinus med forskellige argumenter anvender vi identiteterne
Integraler af formularen \({\large\int\normalstørrelse} {{\sin^m}\, {\cos^n}}\)
vi antager her, at kræfterne \(m\) og \(n\) er ikke-negative heltal.
for at finde en integreret del af denne formular skal du bruge følgende substitutioner:
integralerne af typen \(\int {{{\sin }^n}}\) og \(\int {{{\cos }^n}}\) kan evalueres ved hjælp af reduktionsformler
\
\
Integraler af formularen \({\large \ int \ normalstørrelse} {{\tan^n}n}\)
integrandets styrke kan reduceres ved hjælp af den trigonometriske identitet \(1 + {\tan ^2} = {\sec ^2}\) og reduktionsformlen
\
Integraler af formularen \({\large \ int \ normalstørrelse} {{{\cot }^n}}\)
integrandets styrke kan reduceres ved hjælp af den trigonometriske identitet \(1 + {\cot ^n} = {\csc ^n}\) og reduktionsformlen
\
Integraler af formularen \({\large \ int \ normalstørrelse} {{\sec^n}}\)
denne type integraler kan forenkles ved hjælp af reduktionsformlen:
\
Integraler af formularen \({\large \ int \ normalstørrelse} {{\csc^n}}\)
på samme måde som de foregående eksempler kan denne type integraler forenkles med formlen
\
Integraler af formularen \({\large \ int \ normalstørrelse} {{\tan^m}\, {\sec^n}}\)
Integraler af formularen \({\large \ int \ normalstørrelse} {{\cot^m}\, {\csc^n}} \)
løst problemer
klik eller tryk på et problem for at se løsningen.
eksempel 1.
Beregn integralet \({\large \ int \ normalstørrelse} {{\sin^3}}.\)
opløsning.
lad \(u = \cos,\) \(du = -\sin.\ ) Derefter
Eksempel 2.
Evaluer integralet \({\large \ int \ normalstørrelse} {{\cos^5}}.\)
opløsning.
at gøre substitutionen \(u = \sin,\) \(du = \cos) og bruge identiteten\ ({\cos ^2} = 1 – {\sin ^2},\) Vi opnår
eksempel 3.
Find integralet \({\large \ int \ normalstørrelse} {{\sin^6}}.\)
opløsning.
brug af identiteter \({\sin ^2} = {\large\frac{{1 – \cos 2h}}{2}\normalstørrelse}\) og \({\cos ^2} = {\large\frac{{1 + \cos 2h}}{2}\normalstørrelse},\) vi kan skrive:
Beregn integralerne i sidstnævnte udtryk.
\
for at finde integralet \({\large\int\normalstørrelse} {{\cos^3}2HD},\) foretager vi substitutionen \(u = \sin 2H,\) \(du =\) \( 2\cos 2HD.\ ) Derefter
derfor er den oprindelige integral
eksempel 4.
Find integralet \(\int {{{\sin }^2}h\,{{{\cos }^3}h}h}.\)
opløsning.
kraften i cosinus er underlig, så vi gør substitutionen
\
vi omskriver integralet i form af \(\sin\) for at opnå:
eksempel 5.
Beregn integralet \({\large \ int \ normalstørrelse} {{\sin} ^2}\, {{\cos }^4}}.\)
opløsning.
vi kan skrive:
\
vi konverterer integranden ved hjælp af identiteterne
\
dette giver
eksempel 6.
Evaluer integralet \(\int {{{\sin }^3}\, {{\cos }^4}}.\)
opløsning.
da kraften i sinus er underlig, bruger vi substitutionen
\
integralet er skrevet som
\
Pythagoras identitet,
\
derfor
eksempel 7.
Evaluer integralet \(\int {{{\sin }^3}\, {{\cos }^5}}.\)
opløsning.
vi ser, at begge kræfter er ulige, så vi kan erstatte enten \(u = \sin\) eller \(u = \cos*.\ ) At vælge den mindste eksponent, vi har
\
integralet tager form
\
brug af Pythagoras identitet,
\
vi kan skrive
Eksempel 8.
Evaluer integralet \(\int {{{\sin }^3}h\, {{\cos }^3}hhv.\)
opløsning.
\
Pythagoras identitet,
\
så vi opnår