Calculus II-mere om sekvenser
Vis Mobilmeddelelse Vis alle noter Skjul alle noter
afsnit 4-2 : Mere om sekvenser
i det foregående afsnit introducerede vi begrebet en sekvens og talte om grænser for sekvenser og ideen om konvergens og divergens for en sekvens. I dette afsnit ønsker vi at se hurtigt på nogle ideer, der involverer sekvenser.
lad os starte med nogle terminologi og definitioner.
givet en sekvens \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) vi har følgende.
- vi kalder sekvensen stigende if \({a_n} < {a_{n + 1}}\) for hver \(n\).
- vi kalder sekvensen faldende if \({a_n} > {a_{n + 1}}\) for hver \(n\).
- hvis \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) er en stigende sekvens eller \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) er en faldende sekvens, vi kalder det monoton.
- hvis der findes et tal \(m\) sådan at \(m \le {a_n}\) for hver \(n\) siger vi, at sekvensen er afgrænset nedenfor. Tallet \(m\) kaldes undertiden en nedre grænse for sekvensen.
- hvis der findes et tal \(M\) sådan at \({a_n} \le M\) for hver \(n\) siger vi, at sekvensen er afgrænset ovenfor. Tallet \(M\) kaldes undertiden en øvre grænse for sekvensen.
- hvis sekvensen både er afgrænset nedenfor og afgrænset ovenfor, kalder vi sekvensen afgrænset.
Bemærk, at for at en sekvens skal øges eller formindskes, skal den øges/formindskes for hver \(n\). Med andre ord er en sekvens, der stiger i tre termer og derefter falder for resten af udtrykkene, ikke en faldende sekvens! Bemærk også, at en monoton sekvens altid skal øges, eller den skal altid falde.
før vi går videre, skal vi gøre et hurtigt punkt om grænserne for en sekvens, der er afgrænset over og/eller under. Vi vil gøre det punkt om nedre grænser, men vi kunne lige så nemt gøre det om øvre grænser.
en sekvens er afgrænset nedenfor, hvis vi kan finde et hvilket som helst tal \(m\) sådan at \(m \le {a_n}\) for hver \(n\). Bemærk dog, at hvis vi finder et tal \(m\) til brug for en nedre grænse, vil ethvert tal mindre end \(m\) også være en nedre grænse. Også, bare fordi vi finder en nedre grænse, betyder det ikke, at der ikke vil være en “bedre” nedre grænse for sekvensen end den, vi fandt. Med andre ord er der et uendeligt antal nedre grænser for en sekvens, der er afgrænset nedenfor, nogle vil være bedre end andre. I min klasse vil alt, hvad jeg er efter, være en nedre grænse. Jeg behøver ikke nødvendigvis den bedste nedre grænse, bare et tal, der vil være en nedre grænse for sekvensen.
lad os se på et par eksempler.
- \(\venstre \ { {- {n^2}} \højre\}_{n = 0}^ \ infty \)
- \(\left\ { {{{\left ({- 1} \ right)}^{n + 1}}} \ right\}_{n = 1}^ \ infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \)
Vis alle løsninger Skjul alle løsninger
denne sekvens er en faldende sekvens (og dermed monoton) fordi,
\
for hver \(n\).
også, da sekvensbetingelserne vil være enten nul eller negativ, er denne sekvens afgrænset ovenfor. Vi kan bruge ethvert positivt tal eller nul som bundet, \(M\), men det er standard at vælge den mindste mulige bundet, hvis vi kan, og det er et godt tal. Så vi vælger \(M = 0\) siden,
\
denne sekvens er ikke afgrænset nedenfor, men da vi altid kan komme under ethvert potentiale bundet ved at tage\ (n\) stort nok. Derfor, mens sekvensen er afgrænset over, er den ikke afgrænset.
som en sidebemærkning kan vi også bemærke, at denne sekvens afviger (til \( – \infty\), hvis vi vil være specifikke).
b \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Vis løsning
sekvensbetingelserne i denne sekvens skifter mellem 1 og -1, og sekvensen er derfor hverken en stigende sekvens eller en faldende sekvens. Da sekvensen hverken er en stigende eller faldende sekvens, er den ikke en monoton sekvens.
sekvensen er dog afgrænset, da den er afgrænset ovenfor med 1 og afgrænset nedenfor med -1.
igen kan vi bemærke, at denne sekvens også er divergerende.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \) Vis løsning
denne sekvens er en faldende sekvens (og dermed monoton) siden,
\
udtrykkene i denne sekvens er alle positive, og så er den afgrænset nedenfor med nul. Da sekvensen er en faldende sekvens, vil den første sekvensudtryk også være den største, og så kan vi se, at sekvensen også vil blive afgrænset ovenfor af \(\frac{2}{{25}}\). Derfor er denne sekvens afgrænset.
vi kan også tage en hurtig grænse og bemærke, at denne sekvens konvergerer, og dens grænse er nul.
lad os nu arbejde et par flere eksempler, der er designet til at sikre, at vi ikke bliver for vant til at stole på vores intuition med disse problemer. Som vi bemærkede i det foregående afsnit, kan vores intuition ofte føre os på afveje med nogle af de begreber, vi vil se på i dette kapitel.
- \(\venstre \ { {\displaystyle \frac{n}{{n + 1}}} \ højre\}_{n = 1}^ \ infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
Vis alle løsninger Skjul alle løsninger
vi starter først med den afgrænsede del af dette eksempel og kommer derefter tilbage og behandler det stigende/faldende spørgsmål, da det er her eleverne ofte laver fejl med denne type sekvens.
for det første er \(n\) positiv, og derfor er sekvensbetingelserne alle positive. Sekvensen er derfor afgrænset nedenfor med nul. Ligeledes er hvert sekvensudtryk kvotienten for et tal divideret med et større antal og garanteres derfor at være mindre end et. Sekvensen afgrænses derefter ovenfor af en. Så denne sekvens er afgrænset.
lad os nu tænke på det monotoniske spørgsmål. For det første vil eleverne ofte begå fejlen ved at antage, at fordi nævneren er større, skal kvotienten være faldende. Dette vil ikke altid være tilfældet, og i dette tilfælde ville vi tage fejl. Denne sekvens er stigende, som vi vil se.
for at bestemme den stigende/faldende karakter af denne sekvens bliver vi nødt til at ty til Calculus I-teknikker. Først overveje følgende funktion og dens afledte.
\
vi kan se, at det første derivat altid er positivt, og så fra Calculus I ved vi, at funktionen så skal være en stigende funktion. Så hvordan hjælper dette os? Bemærk, at
\
derfor fordi\ (n< n + 1\) og\(f \venstre( h\ højre)\) er stigende, kan vi også sige, at
\
med andre ord skal sekvensen øges.
Bemærk, at nu hvor vi ved, at sekvensen er en stigende sekvens, kan vi få en bedre nedre grænse for sekvensen. Da sekvensen øges, skal det første udtryk i sekvensen være det mindste udtryk, og da vi starter ved \(n = 1\), kunne vi også bruge en nedre grænse af \(\frac{1}{2}\) til denne sekvens. Det er vigtigt at huske, at ethvert tal, der altid er mindre end eller lig med alle sekvensbetingelserne, kan være en nedre grænse. Nogle er dog bedre end andre.
en hurtig grænse vil også fortælle os, at denne sekvens konvergerer med en grænse på 1.
før man går videre til næste del, er der et naturligt spørgsmål, som mange studerende vil have på dette tidspunkt. Hvorfor brugte vi Calculus til at bestemme den stigende/faldende karakter af sekvensen, da vi lige kunne have tilsluttet et par \(n\)’s og hurtigt bestemt det samme?
svaret på dette spørgsmål er den næste del af dette eksempel!
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Vis løsning
dette er en rodet udseende sekvens, men det skal være for at gøre punktet i denne del.
først skal du bemærke, at som med den foregående del er sekvensbetingelserne alle positive og vil alle være mindre end en (da tælleren garanteres at være mindre end nævneren), og så er sekvensen afgrænset.
lad os nu gå videre til det stigende/faldende spørgsmål. Som med det sidste problem vil mange studerende se på eksponenterne i tælleren og nævneren og bestemme ud fra, at sekvensbetingelserne skal falde.
dette er dog ikke en faldende sekvens. Lad os se på de første par udtryk for at se dette.
\
de første 10 udtryk i denne sekvens er alle stigende, og så klart kan sekvensen ikke være en faldende sekvens. Husk at en sekvens kun kan falde, hvis alle vilkårene falder.
nu kan vi ikke lave en anden almindelig fejl og antage, at fordi de første par udtryk stiger, skal hele sekvensen også øges. Hvis vi gjorde det, ville vi også tage fejl, da dette heller ikke er en stigende rækkefølge.
denne sekvens er hverken faldende eller stigende. Den eneste sikre måde at se dette på er at gøre beregningen i tilgang til stigende/faldende funktioner.
i dette tilfælde har vi brug for følgende funktion og dens derivat.
\
denne funktion har følgende tre kritiske punkter,
\{{30000}} \ca. 13.1607,\hspace{0.25 in}\,\,\,\, H = – \kvm{{30000}} \ ca. – 13.1607\]
hvorfor kritiske punkter? Husk disse er de eneste steder, hvor derivatet kan ændre tegn! Vores sekvens starter ved \(n = 0\), og så kan vi ignorere den tredje, da den ligger uden for værdierne af \(n\), som vi overvejer. Ved at tilslutte nogle testværdier af \(H\) kan vi hurtigt bestemme, at derivatet er positivt for \(0 < < \kvm{{30000}} \ca.13.16\), og så øges funktionen i dette interval. Ligeledes kan vi se, at derivatet er negativt for \(> \kvm{{30000}} \ca.13.16\), og så vil funktionen falde i dette interval.
så vores sekvens vil være stigende for \(0 \le n \le 13\) og faldende for \(n \ge 13\). Derfor er funktionen ikke monoton.
endelig skal du bemærke, at denne sekvens også konvergerer og har en grænse på nul.
så som det sidste eksempel har vist, skal vi være forsigtige med at antage antagelser om sekvenser. Vores intuition vil ofte ikke være tilstrækkelig til at få det rigtige svar, og vi kan aldrig tage antagelser om en sekvens baseret på værdien af de første par udtryk. Som den sidste del har vist, er der sekvenser, der vil stige eller falde i nogle få termer og derefter ændre retning efter det.
Bemærk også, at vi sagde “første par udtryk” her, men det er fuldstændigt muligt for en sekvens at falde for de første 10.000 udtryk og derefter begynde at stige for de resterende udtryk. Med andre ord er der ingen” magisk ” værdi af \(n\), som alt hvad vi skal gøre er at tjekke op til det punkt, og så ved vi, hvad hele sekvensen vil gøre.
den eneste gang, vi kan undgå at bruge Calculus I-teknikker til at bestemme den stigende/faldende karakter af en sekvens, er i sekvenser som del (c) i Eksempel 1. I dette tilfælde ændrede stigende \(n\) kun (faktisk øget) nævneren, og så var vi i stand til at bestemme adfærd af sekvensen baseret på det.
i Eksempel 2 øgede stigende \(n\) imidlertid både nævneren og tælleren. I tilfælde som dette er der ingen måde at bestemme, hvilken stigning der vil “vinde ud” og få sekvensbetingelserne til at stige eller falde, og derfor er vi nødt til at ty til Calculus I-teknikker for at besvare spørgsmålet.
vi lukker dette afsnit med en dejlig sætning, som vi vil bruge i nogle af beviserne senere i dette kapitel.
sætning
hvis \(\left\ {{{{a_n}} \right\}\) er afgrænset og monotonisk, så er \(\left\ {{{a_n}} \right\}\) konvergent.
vær forsigtig med ikke at misbruge denne sætning. Det siger ikke, at hvis en sekvens ikke er afgrænset og/eller ikke monoton, at den er divergerende. Eksempel 2b er et godt eksempel. Sekvensen i dette eksempel var ikke monoton, men den konvergerer.
Bemærk også, at vi kan lave flere varianter af denne sætning. Hvis \(\left \ { {{a_n}} \ right\}\) er afgrænset ovenfor og stigende, så konvergerer den og ligeledes hvis \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) er afgrænset nedenfor og faldende, så konvergerer den.