Cholesky nedbrydning med R Eksempel

BY admin
|

metode til nedbrydning af en positiv-bestemt matrice. En positiv-bestemt matrice er defineret som en symmetrisk matrice, hvor for alle mulige vektorer \(H\), \(H ‘ Aks > 0\). Cholesky nedbrydning og andre nedbrydningsmetoder er vigtige, da det ikke ofte er muligt at udføre matricsberegninger eksplicit.

Cholesky-nedbrydning, også kendt som Cholesky-faktorisering, er enmetode til nedbrydning af en positiv-definitematriks. Apositiv-bestemt matrice er defineret som en symmetrisk matrice, hvor for allepossible vektorer \(H\), \(H ‘ Aks > 0\). Cholesky nedbrydning og andre dekomponeringsmetoder er vigtige, da det ikke ofte er muligt at udføre matriceberegninger eksplicit. Nogle anvendelser af Choleskydecompositioninkludere løse systemer af lineære ligninger, Monte Carlo simulering, ogkalman filtre.

Cholesky dekomponeringsfaktorer en positiv-bestemt matrice \(a\) i:

$$ A = LL^t$$

sådan nedbrydes en matrice med Cholesky nedbrydning

der er mange metoder til beregning af en matrice nedbrydning medcholesky tilgang. Dette indlæg tager en lignende tilgang til detteimplementering.

trinene i factoring af matricen er som følger:

  1. Beregn \(L_1 = \KVRT{a_{11}}\)

  2. for \(k = 2, \ prikker, n\):

  3. Find \(l_{k-1} l_k = a_k\) for \(l_k\)

  4. \(l_{kk} = {a_{KK}-l_k^T l_k}\)
  5. \(L_k =
    \ begin {bmatriks} L_{k-1} & 0 \ \ l_k^T & l_{kk} \ end{bmatriks}

    \)

et eksempel på Cholesky nedbrydning

overvej følgende matrice \(a\).

$$a = \ begin} 3 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 3 & 6 & 9\ $ $

matricen \(a\) ovenfor er taget fra øvelse 2.16 i bogen metoder tilmultivariat analyse af Alvin Rencher.

Begynd med at finde \(L_1\).

$$ L_1 = \KVRT{a_{11}} = \ KVRT{3} = 1.732051 $$

Næste finder vi \(l_2\)

$$ l_2 = \frac{a_{21}}{L_1} = \frac{4}{3}} = 2.309401 $$

derefter kan \(l_{22}\) beregnes.

$$ l_{22} = \KVRT{a_{22} – l_2^T l_2} = \ KVRT{8 – 2.309401^2} = 1.632993 $$

vi har nu \(L_2\) matricen:

$$L_2 = \ begin{bmatriks} L_1 & 0 \ \ l_2^T & l_{22} \ end{bmatriks} = \begin{bmatriks} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 \ end {bmatriks}$ $

da matricen er \(3 \gange 3\), kræver vi kun en mere iteration.

med \(L_2\) beregnet, \(l_3\) kan findes:

$$ l_3 = \frac{a_3}{L_2} = a_3 L_2^{-1} = \ begin} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\end{bmatriks}^{-1} \ begin{bmatriks} 3 \ \ 6 \ end{bmatriks}$$
$$l_3 = \ begin {bmatriks} 1.7320508 \ \ 1.224745 \ end{bmatriks}$$

\(l_{33}\) findes derefter:

$$ l_{33} = \KVRT{a_{33} – l_3^T l_3} = \KVRT{9 – \begin{bmatriks}1.7320508 & 1.224745\end{bmatriks} \begin{bmatriks}1.7320508 \\ 1.224745 \ ende}} = 2.12132 $$

hvilket giver os \(L_3\) matricen:

$$L_3 = \ begin} 1.7320508 & 0 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 & 0 \\ 1.7320508 & 1.224745 & 2.12132\slut{bmatriks}$ $

\(L_3\) matricen kan derefter tages som løsningen. Transponering af dekompositionen ændrer matricen til en øvre trekantet matrice.

Cholesky nedbrydning i R

funktionen chol() udfører Cholesky nedbrydning på apositiv-bestemt matrice. Vi definerer matricen \(A\) som følger.

A = as.matrix(data.frame(c(3,4,3),c(4,8,6),c(3,6,9)))colnames(A) <- NULLA
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

derefter faktor matricen med chol() funktionen.

A.chol <- chol(A)A.chol
## ## 1.732051 2.309401 1.732051## 0.000000 1.632993 1.224745## 0.000000 0.000000 2.121320

funktionen chol() returnerer en øvre trekantet matrice. Transposeringden dekomponerede matrice giver en lavere trekantet matrice som i vores resultatovenfor.

t(A.chol)
## ## 1.732051 0.000000 0.00000## 2.309401 1.632993 0.00000## 1.732051 1.224745 2.12132

vores resultat ovenfor matcher output fra chol() – funktionen.

vi kan også vise identiteten \(A = LL^t\) med resultatet.

t(A.chol) %*% A.chol
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

sammendrag

Cholesky-nedbrydning anvendes ofte, når direkte beregning af en matrice ikke er optimal. Metoden anvendes i en række applikationer såsom multivariat analyse på grund af dens relativteffektive karakter og stabilitet.

(2011). Hentet fromhttp://.ucla.edu/~vandenbe/103 / foredrag / chol.pdf

algoritme til Kolesky nedbrydning. Hentet fromhttp: / / / ~ foster / m143m / cholesky.pdf

Cholesky nedbrydning (2016). På Facebook. Hentet fromhttps: / / da.- Ja.org / Viki / Cholesky_decomposition

Rencher, A. C. (2002). Metoder til multivariat analyse. – J. J.

  • kvadratisk diskriminerende analyse af flere grupper
  • kvadratisk diskriminerende analyse af to grupper
  • diskriminerende analyse af flere grupper
  • lineær diskriminerende analyse til klassificering af flere grupper
  • lineær diskriminerende analyse til klassificering af to grupper