Choleskyho rozklad s příkladem r

BY admin
|

metoda rozkladu kladně definitivní matice. Kladně definovaná matice je definována jako symetrická matice, kde pro všechny možné vektory \(x\), \(x ‚ Ax > 0\). Choleskyho rozklad a další metody rozkladu jsou důležité, protože není často možné provádět maticové výpočty explicitně.

Choleského rozklad, také známý jako Choleskyho faktorizace, je amethod rozkládající pozitivní-definitematrix. Apozitivně definitivní matice je definována jako symetrická matice, kde pro všechny možné vektory \(x\), \(x ‚ Ax > 0\). Cholesky rozklad a dalšíkompoziční metody jsou důležité, protože není často možné explicitně provádět výpočty matice. Některé aplikace Moleskydecompositioninclude řešení systémů lineárních rovnic, Monte Carlo simulace, andKalman filtry.

Cholesky rozklad faktory a pozitivní-definitivní matice \(a\) do:

$$ A = LL^T$$

Jak Rozložit Matici s Choleského Rozklad

Existuje mnoho metod pro výpočet maticové dekompozice s theCholesky přístup. Tento příspěvek má podobný přístup k tomuimplementace.

kroky v factoring matice jsou následující:

  1. Vypočtěte \(L_1 = \sqrt{a_{11}}\)

  2. Pro \(k = 2, \dots, n\):

  3. Najít \(L_{k-1} l_k = a_k\) pro \(l_k\)

  4. \(l_{kk} = \sqrt{a_{kk} – l_k^T l_k}\)
  5. \(L_k =
    \begin{bmatrix} _{k-1} & 0 \\ l_k^T & l_{kk}\end{bmatrix}

    \)

Příklad Choleskyho Rozklad

Zvažte následující matice \(A\).

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{bmatrix}$$

matice \(A\) je převzata z Cvičení 2.16 v knize Metody ofMultivariate Analýzy Alvin Renchera.

začněte nalezením \(L_1\).

$$ L_1 = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{3} = 1.732051 $$

dále jsme najít \(l_2\)

$$ l_2 = \frac{a_{21}}{L_1} = \frac{4}{\sqrt{3}} = 2.309401 $$

Pak \(l_{22}\) lze vypočítat.

$$ l_{22} = \sqrt{a_{22} – l_2^T l_2} = \sqrt{8 – 2.309401^2} = 1.632993 $$

nyní Máme \(L_2\) matice:

$$L_2 = \begin{bmatrix} L_1 & 0 \\ l_2^T & l_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 \ end{bmatrix}$$

protože matice je \(3 \ krát 3\), požadujeme pouze jednu další iteraci.

S \(L_2\) počítačová, \(l_3\) lze nalézt:

$$ l_3 = \frac{a_3}{L_2} = a_3 L_2^{-1} = \begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 3 \\ 6\end{bmatrix}$$
$$l_3 = \begin{bmatrix} 1.7320508 \\ 1.224745 \end{bmatrix}$$

\(l_{33}\) je pak nalezeno:

$$ l_{33} = \sqrt{a_{33} – l_3^T l_3} = \sqrt{9 – \begin{bmatrix}1.7320508 & 1.224745\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1.7320508 \\ 1.224745\end{bmatrix}} = 2.12132 $$

Což nám dává \(L_3\) matice:

$$L_3 = \begin{bmatrix} 1.7320508 & 0 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 & 0 \\ 1.7320508 & 1.224745 & 2.12132\end{bmatrix}$$

\(L_3\) matice pak může být přijata jako řešení. Transpozicedekompozice změní matici na horní trojúhelníkovou matici.

Choleskyho Rozklad v R

funkce chol() provádí Choleskyho rozklad na stalo kladné-definitní matice. Matici \(a\) definujeme následovně.

A = as.matrix(data.frame(c(3,4,3),c(4,8,6),c(3,6,9)))colnames(A) <- NULLA
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

potom faktor matice s funkcí chol().

A.chol <- chol(A)A.chol
## ## 1.732051 2.309401 1.732051## 0.000000 1.632993 1.224745## 0.000000 0.000000 2.121320

funkce chol() vrací horní trojúhelníkovou matici. Transposingthe decomposed matrix poskytuje nižší trojúhelníkovou matici jako v našem resultabove.

t(A.chol)
## ## 1.732051 0.000000 0.00000## 2.309401 1.632993 0.00000## 1.732051 1.224745 2.12132

náš výsledek výše odpovídá výstupu funkce chol().

můžeme také ukázat identitu \(a = LL^T\) s výsledkem.

t(A.chol) %*% A.chol
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

souhrn

Cholesky rozklad se často používá, když přímý výpočet matice není optimální. Metoda se používá v různých použitíchaplikace, jako je vícerozměrná analýza kvůli své relativněefektivní povaze a stabilitě.

(2011). Citováno z http://www.seas.ucla.edu/~vandenbe/103 / lectures / chol.pdf

algoritmus pro Choleského rozklad. Retrieved fromhttp://www.matematika.sjsu.edu/~foster/m143m/choleskyho.pdf

Choleského rozklad (2016). Ve Wikipedii. Citováno z https: / / CS.Wikipedie.org/wiki / Cholesty_decomposition

Rencher, A.C. (2002). Metody vícerozměrné analýzy. New York: J. Wiley.

  • Kvadratické Diskriminační Analýzy Několika Skupin
  • Kvadratické Diskriminační Analýzy Dvou Skupin
  • Diskriminační Analýzy Několika Skupin
  • Lineární Diskriminační Analýzy pro Klasifikaci o Několik Skupin
  • Lineární Diskriminační Analýzy pro Klasifikaci Dvou Skupin