Co jsem se Naučil od Mnoha Let Výuky Kalkulu pro První YearCollege Studenty

Co jsem se Naučil od Mnoha Let Výuky Kalkulu

v Prvním Ročníku Vysoké školy Studenti

AMTNJ Konference

Vedení Matematiky na Trati: Překlenutí Propasti

Mezi středoškolské a Vysokoškolské Matematiky

14. Ledna 2005

Brookdale Community College

Joseph G. Rosenstein (Rutgers-NewBrunswick)

proč tolik studentů prvního ročníku má potížekalkul, když se zdá, že jsou dobře připraveni?

v poslední době jsem učil první semestr kalkul 41% z the61 studentů ve třídě skončil s stupně C nebo horší.

zde jsou další údaje. 82% studentů ve třídě mělo semestr nebo více počtu na střední škole a 73% mělo rok nebo více počtu na střední škole. (35% mělo dokonce rok AP kalkulu.) Podle všeho jde o skupinu, která je dobře připravena na vysokoškolský kalkul.

špatná zpráva je, že pokud bychom dát data dohromady, jsme canconclude, že nejméně 23% mých studentů, vzal kalkul samozřejmě ve škole ještě nepodařilo udělat lépe, než C v kalkul samozřejmě incollege.

proč je tolik studentů, kteří absolvovali podstatné maturitní kurzy na střední škole, ale jsou neúspěšní v počtu?

v této krátké přednášce budu diskutovat o třech druzích otázek –obsahu, procesu a osobních otázkách-vše asi za 15 minut a poté otevřu podlahu pro diskusi.

v části „obsah“ není hlavním problémem to, že studenti nerozumí pojmům počtu, ale to, že nemají zařízení s aritmetikou a algebrou.

jeden student jednou poznamenal, že určitý problémzahrnuje to, co nazval „intenzivní algebra“ – tím myslel, že musel na mnoha svých znalostech algebry provádět výpočty v asingle problém. To se děje, například, když studenti potřebují najít derivaci funkce f(x) =1/(x+3) z definice – to je, stejně jako v transparentnosti, je třeba najít limit, rozdíl, podíl, jak se h blíží k nule. Přemýšlejte o krocích, které je třeba podniknoutvyřešit tento problém. Potřebují:

napsat správný výraz pro f(x+h) vzhledem k equationfor f(x);

kombinovat dva zlomky v čitateli do singlefraction;

kombinovat součet a rozdíl pojmů;

transformovat část, která má podíl v numeratorinto ten, který není;

najít společného dělitele čitatele a jmenovatele andcancel to správně;

limit a výsledek se vyjádří v appropriateform.

nejen, že mají být schopni vykonávat každý z tyto kroky jednotlivě, potřebují také fungování na vysoké úrovni sledování systemthat vidí „velký obraz“, který je zapojen v nalezení derivace a thattells jim, co je třeba udělat na každém kroku.

přesto se řada z nich stále dopouští chyb, které se od středních ročníků vyskytují – například neoprávněně ruší termíny.

otázku, jako Je tato, je uveden v pololetí a na finalexam, a i když všichni vědí, že tohle je to, co se očekává, že bude schopen udělat, mnozí z nich jsou schopni dokončit úkol správně.

když mluvíme o normách NCTM, často se chováme, jako by procesní standardy nahradily standardy obsahu, které chápání nahradilo zařízení. To není případ. Chceme se zaměřit na reasoningand řešení problémů, ale také chceme, aby naši studenti mají vhodnéfacility s matematickými operacemi.

jaké zařízení je „vhodné“? To záleží na studentovi. Ti, kteří skončí s několikamestry počtu na vysoké škole, jsou rozhodně v nevýhodě, pokud mají potíže s aritmetikou a algebrou.

na druhé straně ti, kteří pravděpodobně nebudou pokračovat v výpočtunebude potřebovat intenzivní algebru. Ale to, že konkrétní student je v této kategorii, může skončit jako naplnění proroctví.

odklon od algebry. Mnoho lidí kritizovalo Rutgers’placement test na základě toho, že není v souladu s normami, s ourreform úsilí, protože se zaměřuje na dovednosti. Ale musím říct, že je dobrým měřítkem pravděpodobnosti úspěšnost v multivariable a kalkul, a byl tak v průběhu posledních 20 letod zavedli jsme to. To měřístudentů zařízení s předpokladem dovednosti … protože zařízení s předpokladem je nezbytné pro úspěch v těchto kurzech.

podělím se s vámi o své osobní zkušenosti. Před několika lety jedna z mých dcer skórovalatěsně pod hranicí pro precalculus. Vzhledem k tomu, že mám trochu vlivu, byl jsem schopen zapsat ji inprecalculus, s odůvodněním, že pokud měla potíže, měla přístup k agood tutor. To bylo správné … ale byla to také chyba-nakonec jsem udělal hodně doučování. Nebyla na to připravená.

to je konec odbočení.

nyní je třeba objasnit. Když říkáme, že algebra má zásadní význam pro úspěch v kalkulu, nemyslíme tím jen učení pravidel pro algebraické manipulace. Zařízení inalgebra také znamená pochopení matematiky, která je základem těchto pravidel. Když studenti dělají chyby, jsou často důsledkem nepochopení matematiky, a my všichni potřebujeme tospend více času, odhalení chybných myšlenek, které vedly k ty chyby, andhelping studenti nahradit je přesnější mathematicalunderstandings. To znamená diskutovat o problémech ve třídě a se studenty individuálně, a ne je jen označovat za správné na domácích úkolech a testech.

Zařízení v algebře také znamená být schopen nakreslit na jeden’sentire matematické zkušenosti zjistit vhodný další krok v problém – to je to, co jsem výše uvedené, jako monitorování pokroku …vědět, co dělat dál.

což nás přivádí k „procesním problémům“.

všichni Máme tendenci škatulkovat, co jsme se dozvěděli –zčásti proto, že narazíme na nové informace lineárně a musíme uložit to někde. Je však velmi důležité, aby učení bylo spojeno. Nic nemůžeme jako učitelé dělat, aby se spojení mezi témata, zaměřit se studenty na velký obrázek, je velmi důležité.

je důležité uvést příklady a domácí úkoly, které spojují různékoncepty, stejně jako pravidelné kumulativní zkoušky. V opačném případě se studenti naučí, co potřebujívědět pro tento týden kvíz a pak na to zapomenout.

v některých školách je úspěch studentů odměněn osvobozením od pololetních a závěrečných zkoušek. Ibelieve, že tato praxe je vážná chyba – studenti nedostanou šanci dát dohromady jednotlivé poznatky, které získali. Navíc je nepřipravuje na kumulativní zkoušky, které jsou na vysoké škole běžné. Podél těchto linek, zprávu vydala threeweeks před lety poznamenal, že s AP kalkul na vysoké škole nebyl prediktor úspěšnost ve škole, i když bodování dobře na AP zkoušky.

musíme pomoci našim studentům získat celkový obraz. Jedna část to zahrnujedekompartmentalizace a integrace znalostí, jak jsme diskutovali. Existuje však i několik dalších aspektů.

jedním z nich je povzbuzování studentů, aby měli více perspektiv. Například, oni by mělo být obeznámeni s různými aspekty představu funkce – jako rovnici,jako pravidlo, jako graf, tabulka, jako vstupní-výstupní zařízení – a být schopen přestěhování sem a tam snadno mezi těmito reprezentacemi.

podobně by se měli pohybovat tam a zpětmezi algebrou a geometrií. Při diskuzi o řešení souběžných lineárních rovnic by si měli uvědomit, že je to stejné jako se ptát, kde se protínají dvě přímky. Když dáte kvadratickou funkci, měli by být schopni vizualizovat parabolu, kterou definuje-možná ne všechny detaily – ale určitě by si měli být vědomi toho, že definují parabolu, a vědět, zda se otevírá nahoru nebo dolů. Nejen, že by měli být schopni vizualizovat parabolu, měli by to ve skutečnosti udělat. Rovnice a graf by měly být dva pohledy na stejný objekt.

A když najdete řešení kvadratické rovnice,měli by být schopni přeložit, že se zařízení do grafu thequadratic funkce – tak, že když kořeny kvadratické funkce jsou, například, 3 +/- sqrt2, měli by být schopni obrázek o tom, kde graf z funkce protíná osu x.

v první den třídy dávám studentům malý šrotpapír-1/8 listu 8, 5×11 a požádejte je, aby našli tečnu úhlujehož sinus je 3/5. Někteří ze studentůnakreslete trojúhelník; téměř všechnypak dostanete správnou odpověď. Někteří z nich trojúhelník nenakreslí, žádný z nich nedostane správnou odpověď.

Od doby, co jsem po nich nechtěl, aby dal jejich jména na dokumenty, Ican ‚ t se týkají řešení tohoto problému, aby si své známky v kurzu, ale myguess je, že existuje vysoký stupeň korelace. Studenti, kteří mohou vizualizovat algebru, kteří mohousnadno se pohybovat od algebry k geometrii a zpět, budou pravděpodobně úspěšní incalculus.

Ve druhé třídě, jsem zprávu studentů výsledky tohoto experimentu a posílit význam vizualizace. Nabádám je, aby si zapnuli vypínač, aby si v mysli nakreslili obrázek každého z nich, který je v jejich knize nebo na tabuli.

poukazuji na to, že obrázek může obsahovat hodněinformace. Například, pokud mohou visualizeand interpretovat grafy sinus, kosinus a tangens funkce pak theyonly třeba pamatovat tří skutečností – že sin 30 = ½ , že tan 45 =1, a thatsin2x + cos2x =1 . Z nich lze odvodit téměř vše, co potřebují vědět o trigonometrii. Zejména nemusí pamatovat spoustu a spoustu faktů. To je to, co budou muset udělat, pokud nebudou rozumět obrázkům. Někteří to považují za těžké uvěřit, a persistin se snaží zapamatovat si spoustu faktů o trigonometrických funkcích. Není divu, že to někdy cítíjejich hlavy jsou plné.

Existuje asi tucet snímků, které zapouzdřit mnohem offirst semestru kalkulu – pokud jste pochopili, a může vysvětlit, co je v thosepictures, pak budete dělat velmi dobře v kalkulu. Je pro ně také těžké uvěřit.

dalším problémem, který stručně zmíním, je, že studenti potřebují mít lepší představu o tom, zda odpověď, kterou generují, je rozumná. Předpokladem toho samozřejmě je, že si skutečně kladou otázku, zda jsou jejich odpovědi rozumné. Ve skutečnosti, pokud se zeptajísami otázku, je pravděpodobné, že odpovídajícím způsobem reagovat. Takže cílem je přimět je, aby se na to zeptalotázka-je tato odpověď rozumná?

nakonec musí mít studenti smysl pro matematiku jakojazyku. Matematika Má slova asymboly a pravidla pro jejich použití. Weoften ignorovat gramatiky, z matematiky, a umožnit našim studentům, aby mluvit a napsat matematiky nesprávně – praxe, která by nemělo být dovoleno v Spanishclass. Takže nakonec nepoužívají rodiče, když by měli, a v důsledku toho dělají nejrůznější chyby. Nepoužívají se rovná znamení separateequal výrazy v jejich matematických vět, a, jako výsledek, quantitieswander z jednoho výrazu do druhého. A často nejsou schopni překládat své odpovědi na problémymatematický jazyk do anglického jazyka. Tento problém vyžaduje více pozornosti od všechnás.

a nyní se dostáváme k tomu, co jsem nazval osobní problémy. Uvedu čtyři body. Jedním z nich je, že mnoho studentů přijde na prvnísemester kalkul si myslí, že už znají kalkul. To může být pravda – ale platí to jen pro některé z nich. Nicméně, to je nebezpečné předpokladu, pro ty, kteří věřit, že nebude dělat nic za první čtyři týdny semestru … a thenfind, že je to příliš pozdě na to dohnat.

varujte prosím své studenty, že i když mohou být úspěšní ve vašem kurzu, nebudou automaticky úspěšní v kurzu se stejným titulem na vysoké škole. Ačkoli oba kurzy pokrývají stejný materiál, vysokoškolský kurz jde do větší hloubky.

druhým bodem je, že studenti potřebují vědět, že budoumuset pracovat na vysoké škole. Některé z themwill být schopen dostat, aniž by příliš mnoho práce – v takovém případě by měly být s více obtížné, samozřejmě, ale většina z nich bude mít své handsfull s kurz, který berou – ať už je to kalkul, nebo multivariable nebo dokonce algebra – zda nebo ne oni dostali dobrou známku ve které samozřejmě ve škole.

dozvěděl jsem se, že nejlepším prediktorem dobré známky vcalc 1 je získání dobré známky na první zkoušce. Podívejte se na data v grafu. Ukazuje, že 86% studentů, kteří skórovali70% na první zkoušce získalo pro kurz známku C+ nebo lepší. Na druhou stranu, pouze 17% z těch, whoscored méně než 70% na první zkoušku mám stupeň C+ nebo lepší, na této dráze. Důsledná práce se vyplatí. Ti, kteří začínají dobře a pracujínedůsledně dobře.

Studenti v mém Kalkulu tříd 1

Podzim 1999, Podzim 2000, Podzim 2001, Podzim 2002

# studentů	70% nebo spíš na první zkoušku	69 nebo méně na první zkoušku	Celkem
Výsledná Známka: C+ nebo vyšší	74	21	105
výsledná známka: C nebo nižší	12	102	114
	86	123	219

86% z těch, kteří dostali 70% nebo lepší, na první test mám C+ nebo lepší v průběhu;17% z těch, kteří dostali 69%, nebo horší, na první test mám C+ nebo lepší v této dráze

Další věc, kterou jsem udělal na první den třídy, je požádat eachstudent, aby se o realistické zhodnocení toho, co třídy, které on nebo ona očekává, getin kurz – přičemž všechny druhy věci v úvahu – a ruku v příkladech na další kousek papírku. Každý student bez výjimky očekává, že dostane B nebo lepší!

oznamuji to studentům ve druhé třídě a pak jim ukážu tento graf. Říkám jim, že semestr nemohou začít myslet na to, že protože znají vzorce pro několik derivátů, znají počet. Říkám jim, že musí začít semestr pracovat na kalkulu. Možná to dělá rozdíl. Říkám jim, že udělám všechno, co mohu, abych každému pomohl získat známku, kterou doufá – ale nakonec je to na nich.

to je třetí bod, který chci udělat-studenti se musí učitpřijmout odpovědnost za své vlastní vzdělání. Na střední škole je vidíte každý den a můžete je přemlouvat, aby brali studium vážně. To je skvělé. Ale když se dostanou na vysokou školu, jsou na to sami, a pokud se nenaučili převzít odpovědnost za své vzdělání, budou to mít těžké.

Nejsem si jistý, jak je přimět, aby převzali odpovědnost, ale je tu skromný experiment, který byste mohli zkusit. Řekněte jim, že nebudete sbírat úkoly pro další dvětýdny. Pak jim udělejte zkoušku na nichmateriál. Někteří z nich nebudou dělat úkoly a budou dělat špatně navyšetření. Možná, že jejich výkon na thatexam jim sdělí, že vaše neshromažďování domácích úkolů by nemělo být interpretováno tak, že to nemusí dělat.

dalším aspektem převzetí odpovědnosti za své vzděláníje požádat o pomoc a využít příležitostí, které jsou jim k dispozici. Méně než 20% mystudentů mě někdy přijde navštívit, i když je pravidelně povzbuzuji, aby doso. Méně než 20% z mých studentů everemail jejich otázky, i když jim řeknu, že bude s největší likelyget odpověď během několika hodin. Ačkoli jedna třetina mých studentů skončí s D nebo F, jen málo z nich vyhledá různé typy pomoci, které mají k dispozici.

většina studentů se dosud nedozvěděla, že je pro ně v pořádku hledat pomoc – nenaučili se, že pokud mají v kurzu potíže, měli by vyhledat pomoc co nejdříve. Potřebují vědět, že čekání není dobréstrategie. Možná, že vaše vyprávění, že tothem bude něco změnit.

to mě přivádí na konec mých poznámek. Mluvil jsem trochu o obsahu otázky,problémy procesu, a osobní problémy, které interferují se studenty’success v multivariable a kalkul kurzy, a dal jsem vám fewsuggestions na to, jak vám může pomoci připravit studenty k překonání theobstacles k jejich úspěchu.

Děkujeme vám za pozornost a nyní budeme mítdiskutovat o těchto otázkách.