Diferenciální počet II – Více na Sekvence
Zobrazit Mobilní Oznámení, Zobrazit Všechny Poznámky, Skrýt Všechny Poznámky
oddíl 4-2 : Více o sekvencích
v předchozí části jsme představili koncept sekvence a hovořili o limitech sekvencí a myšlence konvergence a divergence pro sekvenci. V této části se chceme rychle podívat na některé nápady zahrnující sekvence.
začněme nějakou terminologií a definicemi.
vzhledem k libovolné sekvenci \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) máme následující.
- sekvenci nazýváme rostoucí, pokud \({a_n} < {a_{n + 1}}\) pro každý \(n\).
- sekvenci nazýváme klesající, pokud \({a_n} > {a_{n + 1}}\) pro každý \(n\).
- Pokud \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) je rostoucí posloupnost nebo \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) je klesající posloupnost nazýváme monotónní.
- pokud existuje číslo \(m\) takové, že \(m \ le {a_n}\) pro každou \(n\) říkáme, že posloupnost je ohraničena níže. Číslo \(m\) se někdy nazývá dolní mez sekvence.
- pokud existuje číslo \(M\) takové, že \({a_n} \le M\) pro každou \(n\) říkáme, že sekvence je ohraničena výše. Číslo \(M\) se někdy nazývá horní mez sekvence.
- pokud je sekvence ohraničena níže a ohraničena výše, nazýváme sekvenci ohraničenou.
Všimněte si, že v pořadí pro pořadí být rostoucí nebo klesající, musí to být rostoucí/klesající, pro každé \(n\). Jinými slovy, sekvence, která se zvyšuje pro tři termíny a poté klesá pro zbytek termínů, není klesající sekvence! Všimněte si také, že monotónní sekvence se musí vždy zvyšovat nebo se musí vždy snižovat.
než se přesuneme, měli bychom udělat rychlý bod o hranicích pro sekvenci, která je ohraničena nad a/nebo pod. Uděláme bod o dolních hranicích, ale stejně snadno bychom to mohli udělat o horních hranicích.
posloupnost je ohraničena níže, pokud najdeme libovolné číslo \(m\) takové, že \(m \ le {a_n}\) pro každé \(n\). Všimněte si však, že pokud najdeme jedno číslo \(m\), které se použije pro dolní hranici, pak jakékoli číslo menší než \(m\) bude také dolní hranicí. Také jen proto, že najdeme jednu dolní hranici, která neznamená, že pro sekvenci nebude „lepší“ dolní hranice než ta, kterou jsme našli. Jinými slovy, existuje nekonečný počet dolních hranic pro sekvenci, která je ohraničena níže, některé budou lepší než jiné. V mé třídě bude vše, po čem jdu, nižší hranice. Nepotřebuji nutně nejlepší dolní hranici, jen číslo, které bude dolní hranicí pro sekvenci.
podívejme se na několik příkladů.
- \(\left\{ { – {n^2}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\vlevo\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\vlevo\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \)
Zobrazit Všechna Řešení Skrýt Všechna Řešení
Tato posloupnost je klesající posloupnost (a tedy monotónní) protože,
\
pro každé \(n\).
také, protože termíny sekvence budou buď nulové nebo záporné, je tato sekvence ohraničena výše. Můžeme použít libovolné kladné číslo nebo nulu jako vazbu, \(M\), nicméně je standardní zvolit nejmenší možnou vazbu, pokud můžeme, a je to pěkné číslo. Takže zvolíme \(M = 0\), protože
\
tato posloupnost není ohraničena níže, protože se vždy můžeme dostat pod jakýkoli potenciál vázaný tím, že vezmeme \(n\) dostatečně velký. Proto, zatímco sekvence je ohraničena nad, není ohraničena.
jako vedlejší poznámku můžeme také poznamenat, že tato sekvence se liší (na \ (- \infty \), pokud chceme být konkrétní).
b \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Ukazují Řešení
sekvence hlediska v tomto pořadí se střídají mezi 1 a -1, a tak posloupnost není ani rostoucí posloupnost nebo klesající posloupnost. Vzhledem k tomu, že sekvence není ani rostoucí ani klesající sekvencí, nejedná se o monotónní sekvenci.
posloupnost je však ohraničena, protože je ohraničena výše 1 a ohraničena níže -1.
opět můžeme poznamenat, že tato sekvence je také divergentní.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \) Ukazují Řešení
Tato posloupnost je klesající posloupnost (a tedy monotónní) od té doby,
\
termíny v této sekvenci jsou všechny pozitivní a tak to je ohraničené pod nulou. Také, protože posloupnost je klesající sekvence první sekvence termín bude největší, a tak můžeme vidět, že sekvence bude také omezená nad tím, že \(\frac{2}{{25}}\). Proto je tato sekvence ohraničena.
můžeme také vzít rychlý limit a poznamenat, že tato posloupnost konverguje a její limit je nulový.
Nyní pojďme pracovat několik dalších příkladů, které jsou navrženy tak, aby se ujistil, že nebudeme příliš zvyklí spoléhat na naši intuici s těmito problémy. Jak jsme poznamenali v předchozí části, naše intuice nás může často vést na scestí s některými koncepty, na které se v této kapitole podíváme.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{n}{{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\vlevo\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
Zobrazit Všechna Řešení Skrýt Všechna Řešení
začneme s ohraničené části tohoto příkladu první a pak se vrátit a vypořádat se s rostoucí/klesající otázka, protože to je místo, kde studenti často dělají chyby s tento typ sekvence.
Za prvé, \(n\) je pozitivní, a proto jsou všechny posloupnosti kladné. Sekvence je proto ohraničena pod nulou. Podobně, každý sekvenční termín je kvocient čísla děleno větším číslem, a proto je zaručeno, že bude menší než jeden. Posloupnost je pak ohraničena výše jedním. Takže tato posloupnost je ohraničena.
nyní se zamyslíme nad monotónní otázkou. Za prvé, studenti často udělají chybu, když předpokládají, že protože jmenovatel je větší, kvocient musí klesat. Nebude tomu tak vždy a v tomto případě bychom se mýlili. Tato sekvence se zvyšuje, jak uvidíme.
abychom určili rostoucí / klesající povahu této sekvence, budeme se muset uchýlit k technikám počtu I. Nejprve zvažte následující funkci a její derivaci.
\
vidíme, že první derivace je vždy kladná, a tak z počtu I víme, že funkce musí být pak rostoucí funkcí. Jak nám to pomůže? Všimněte si, že
\
Proto, protože \(n < n + 1\) a \(f\left( x \right)\) je rostoucí, můžeme také říci, že,
\
jinými slovy, sekvence musí být rostoucí.
Všimněte si, že nyní, když víme, že sekvence je rostoucí sekvence, můžeme získat lepší dolní hranici pro sekvenci. Vzhledem k tomu, že sekvence roste, první člen v sekvenci musí být nejmenší člen, a proto, protože začínáme na \(n = 1\), mohli bychom také použít dolní hranici \(\frac{1}{2}\) pro tuto sekvenci. Je důležité si uvědomit, že jakékoli číslo, které je vždy menší nebo rovno všem sekvenčním výrazům, může být dolní mez. Některé jsou však lepší než jiné.
rychlý limit nám také řekne, že tato posloupnost konverguje s limitem 1.
před přechodem na další část je přirozená otázka, kterou bude mít mnoho studentů v tomto bodě. Proč jsme použili Počet k určení rostoucí / klesající povahy sekvence, když jsme mohli právě připojit pár \(n\) a rychle určit totéž?
odpověď na tuto otázku je další částí tohoto příkladu!
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Ukazují Řešení
Tohle je chaotický vypadající sekvence, ale to musí být v pořádku, aby se bod této části.
nejprve si všimněte, že stejně jako u předchozí části jsou termíny sekvence kladné a všechny budou menší než jedna (protože čitatel je zaručeno, že bude menší než jmenovatel), a proto je sekvence ohraničena.
nyní přejdeme k rostoucí / klesající otázce. Stejně jako u posledního problému se mnoho studentů podívá na exponenty v čitateli a jmenovateli a na základě toho určí, že se posloupnost musí snížit.
to však není klesající sekvence. Podívejme se na prvních pár termínů, abychom to viděli.
\
prvních 10 podmínky této sekvence se zvyšuje, a tak jasně posloupnost nemůže být klesající posloupnost. Připomeňme, že sekvence může klesat, pouze pokud se všechny termíny snižují.
nyní nemůžeme udělat další běžnou chybu a předpokládat, že protože prvních pár výrazů se zvyšuje, musí se také zvýšit celá sekvence. Pokud bychom to udělali, také bychom se mýlili, protože to také není rostoucí posloupnost.
tato sekvence se nesnižuje ani nezvyšuje. Jediný jistý způsob, jak to vidět, je provést Počet i přístup ke zvýšení / snížení funkcí.
v tomto případě budeme potřebovat následující funkci a její derivaci.
\
Tato funkce bude mít následující tři důležité body,
\{{30000}} \cca 13.1607,\hspace{0,25}\,\,\,\,x = – \sqrt{{30000}} \approx – 13.1607\]
Proč kritických bodů? Pamatujte, že toto jsou jediná místa, kde derivát může změnit znak! Naše posloupnost začíná na \(n = 0\) a tak můžeme ignorovat třetí, protože leží mimo hodnoty \(n\), o kterých uvažujeme. Připojením některých testovacích hodnot \(x\) můžeme rychle určit, že derivace je pozitivní pro \(0 < x < \sqrt{{30000}} \cca 13.16\), a tak se funkce v tomto rozsahu zvyšuje. Podobně můžeme vidět, že derivace je záporná pro \(x > \sqrt{{30000}} \approx 13.16\), a tak bude funkce klesající v tomto rozsahu.
takže naše posloupnost se bude zvyšovat pro \(0 \le n \le 13\) a snižovat pro \(n \ge 13\). Funkce proto není monotónní.
nakonec si všimněte, že tato sekvence bude také konvergovat a má limit nuly.
tak, jak ukázal poslední příklad, musíme být opatrní při vytváření předpokladů o sekvencích. Naše intuice často nestačí k získání správné odpovědi a nikdy nemůžeme předpokládat sekvenci založenou na hodnotě několika prvních termínů. Jak ukázala poslední část, existují sekvence, které se zvýší nebo sníží na několik termínů a poté změní směr.
Všimněte si, jak je dobře, že jsme si řekli „prvních pár podmínek“, ale je zcela možné, že pořadí, aby pokles pro prvních 10 000 termínů a pak začít zvyšovat pro zbývající podmínky. Jinými slovy, neexistuje žádná“ magická “ hodnota \(n\), pro kterou vše, co musíme udělat, je zkontrolovat až do tohoto bodu a pak budeme vědět, co udělá celá sekvence.
jediný čas, kdy se budeme moci vyhnout použití technik počtu I k určení rostoucí/klesající povahy sekvence, je v sekvencích, jako je část (c) příkladu 1. V tomto případě zvýšení \(n\) pouze změnilo (ve skutečnosti zvýšilo) jmenovatele, a tak jsme na základě toho mohli určit chování sekvence.
v příkladu 2 však zvýšení \(n\) zvýšilo jmenovatele i čitatele. V případech jako je tento není tam žádný způsob, jak určit, které zvyšují bude „vyhrát“ a protože posloupnost podmínek pro zvýšení nebo snížení, a proto se musíme uchýlit k Kalkul jsem technik odpovědět na otázku.
tuto část uzavřeme pěknou větou, kterou použijeme v některých důkazech později v této kapitole.
Větu
Pokud \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) je omezená a monotónní, pak \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) je konvergentní.
dávejte pozor, abyste tuto větu nezneužili. Neříká, že pokud sekvence není ohraničená a / nebo není monotónní, je divergentní. Příklad 2b je dobrým příkladem. Sekvence v tomto příkladu nebyla monotónní, ale konverguje.
Všimněte si také, že můžeme udělat několik variant této věty. Pokud \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) je ohraničen výše a zvyšuje se, pak konverguje a podobně, pokud \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) je ohraničen níže a klesá, pak konverguje.