Fixed-point teorému
Pevný bod veta, některý z různých vět, v matematice zabývají transformace bodů ze souboru do bodů o stejnou sadu, kde to může být prokázáno, že alespoň jeden bod zůstává pevná. Například, pokud je každé reálné číslo na druhou, čísla nula a jedna zůstávají pevná; zatímco transformace, při které je každé číslo zvýšeno o jedno, nezanechává žádné číslo pevné. První příklad, transformace sestávající z kvadratura každé číslo, pokud je aplikován na otevřený interval čísla větší než nula a menší než jedna (0,1), také nemá žádné pevné body. Situace se však mění pro uzavřený interval, včetně koncových bodů. Kontinuální transformace je taková, ve které jsou sousední body přeměněny na další sousední body. (Viz kontinuita.) Brouwerova věta s pevným bodem uvádí, že jakákoli kontinuální transformace uzavřeného disku (včetně hranice) na sebe ponechává alespoň jeden bod pevný. Věta platí také pro kontinuální proměny body na uzavřeném intervalu, v uzavřené kouli, nebo v abstraktní vyšší dimenzionální sady obdobné jako míč.
věty s pevným bodem jsou velmi užitečné pro zjištění, zda má rovnice řešení. Například v diferenciálních rovnicích transformace nazývaná diferenciální operátor transformuje jednu funkci na druhou. Nalezení řešení diferenciální rovnice pak lze interpretovat jako nalezení funkce nezměněné související transformací. Tím, že zvažuje tyto funkce jako body a definování kolekce funkce analogická k výše uvedené kolekce body obsahující disk, věty analogické k Brouwer je pevný bod věta může být prokázáno pro diferenciální rovnice. Nejslavnější věta tohoto typu je Leray-Schauder věta, která byla zveřejněna v roce 1934 Francouz Jean Leray a Polák Julius Schauder. To, zda tato metoda poskytuje řešení (tj. zda lze nalézt pevný bod), závisí na přesné povaze diferenciálního operátora a na souboru funkcí, ze kterých je řešení hledáno.