Pocet
V tomto tématu budeme studovat, jak integrovat určité kombinace týkajících se produktů a pravomoci goniometrické funkce.
zvažujeme \(8\) případy.
K vyhodnocení integrálů produkty sinus a kosinus s různými argumenty, použijeme identity
Integrálů tvaru \({\large\int\normalsize} {{\sin^m}x\,{\cos^n}xdx}\)
Budeme předpokládat, že síly \(m\) a \(n\) nejsou-negativní celá čísla.
Chcete-li najít integrál tohoto formuláře, použijte následující substituce:
integrály typu \(\int {{{\sin a }^n}xdx} \) a \(\int {{{\cos }^n}xdx} \) může být hodnocena snížení vzorce
\
\
Integrály ve tvaru \({\large\int\normalsize} {{\tan^n}xdx} \)
síla integrand může být snížena použitím trigonometrické identity \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) a snížení vzorec
\
Integrály ve tvaru \({\large\int\normalsize} {{{\cot }^n}xdx} \)
síla integrand může být snížena použitím trigonometrické identity \(1 + {\cot ^n}x = {\csc ^n}x\) a snížení vzorec
\
Integrály ve tvaru \({\large\int\normalsize} {{\sec^n}xdx} \)
Tento typ integrály lze zjednodušit s pomocí redukce vzorec:
\
Integrály ve tvaru \({\large\int\normalsize} {{\csc^n}xdx} \)
Podobně jako předchozí příklady, tento typ integrály mohou být zjednodušeny podle vzorce
\
Integrály ve tvaru \({\large\int\normalsize} {{\tan^m}x\,{\sec^n}xdx} \)
Integrálů tvaru \({\large\int\normalsize} {{\cot^m}x\,{\csc^n}xdx} \)
Řešit Problémy
Klikněte nebo klepněte problém k řešení.
Příklad 1.
Vypočítejte integrál \({\large\int\normalsize} {{\sin^3}xdx}.\)
řešení.
Nechť \(u = \ cos x,\) \(du = – \sin xdx.\ ) Pak
Příklad 2.
vyhodnoťte integrál \({\large\int\normalsize} {{\cos^5}xdx}.\)
řešení.
Takže substituce \(u = \sin x\) \(du = \cos xdx\) a pomocí identity \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x\), získáme
Příklad 3.
Najděte integrál \({\large \ int\normalsize} {{\sin^6}xdx}.\)
řešení.
Pomocí identity \({\sin ^2}x = {\large\frac{{1 – \cos 2x}}{2}\normalsize}\) a \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\), můžeme napsat:
Vypočítejte integrály v druhém výrazu.
\
najít integrál \({\large\int\normalsize} {{\cos^3}2xdx},\) dosadíme \(u = \sin 2x,\) \(du =\) \( 2\cos 2xdx.\ ) Pak
proto je počáteční integrál
příklad 4.
Najděte integrál \(\int {{{\sin }^2}x\, {{{\cos }^3}x}DX}.\)
řešení.
kosinus je liché, takže uděláme substituci
\
přepíšeme integrál v oblasti \(\sin x\) získat:
Příklad 5.
Vypočítejte integrál \({\large\int\normalsize} {{{\sin }^2}x\, {{\cos }^4}xdx}.\)
řešení.
můžeme napsat:
\
Jsme převést integrand pomocí identit
\
Tento výnos
Příklad 6.
vyhodnoťte integrál \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos }^4}xdx}.\)
řešení.
Jako síla sinus je lichá, použijeme substituci
\
nedílnou součástí je psaný jako
\
Podle Pythagorovy identity,
\
Proto
Příklad 7.
vyhodnoťte integrál \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos }^5}xdx}.\)
řešení.
vidíme, že obě síly jsou liché, takže můžeme nahradit buď \(u = \sin x\), nebo \(u = \cos x.\) Výběr nejmenší exponent, máme
\
integrální formu
\
Pomocí Pythagorovy identity,
\
můžeme napsat,
Příklad 8.
vyhodnoťte integrál \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos }^3}xdx}.\)
řešení.
\
Podle Pythagorovy identity,
\
tak jsme se získat