Vlastní čísla, vlastní vektory a eigendecomposition

co potřebujete vědět, abyste pochopili toto téma?

• základy lineární algebry

sekce

• vlastní?
• Eigendecomposition
• příklad
• proč je eigendecomposition užitečná?
• inverzní Matice
• matice
• Vlastnosti eigendecomposition
• Jak vypočítat eigendecomposition?
• Power iterace
• QR algoritmus

vlastní Co?

Eigen znamená vlastní nebo já. V lineární algebře jsou vlastní hodnoty, vlastní vektory a eigendecomposition pojmy, které jsou vnitřně příbuzné. Eigendecomposition je způsob, jak rozložit čtvercovou matici na vlastní čísla a vlastní vektory. Pro matice $A$, pokud$$\begin{equation}\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}\label{eq:Avlv}\end{equation}$$pak $\mathbf{v}$ je vlastní vektor matice $A$ a $\lambda$ je odpovídající vlastní číslo. To znamená, že pokud matice $A$ je vynásobí vektor a výsledkem je zmenšená verze stejný vektor, pak je to vlastní vektor $$ a měřítko je jeho vlastní číslo.

Eigendecomposition

jak tedy najdeme vlastní vektory matice? Od $\eqref{eq:Avlv}$:$$\mathbf{v}-\lambda I \mathbf{v} = 0$$$$\begin{equation} (\lambda) \mathbf{v} = 0\label{eq:AlI}\end{equation},$$kde $I$ je jednotková matice. Hodnoty $ \ lambda$ kde $\eqref{eq: AlI}$ Hold jsou vlastní hodnoty $a$. Ukazuje se, že tato rovnice je ekvivalentní:$$ \ begin{equation}det (a – \lambda I) = 0, \ label{eq: detAlI}\end{equation}$$kde det () je determinant matice.

Důkaz, že $det(A-\lambda) \equiv (A-\lambda) \mathbf{v}=0$

příklad

Pojďme se podívat na eigendecomposition pro matice:$$A=\left$$Z $\eqref{eq:detAlI}$:$$det\left(\left\right) = 0$$$$(1-\λ)(3-\lambda) = 0$$dostaneme přímo $\lambda_1 = 1$ a $\lambda_2 = 3$. Výše uvedený výraz je obvykle označován jako charakteristická polinomická nebo charakteristická rovnice matice.
zapojením $ \ lambda_1$ do $\eqref{eq: Avlv}$, dostaneme:$$ \ left\left= 1 \ left$$, ze kterého dostaneme $v_{11} = – 2v_{12}$. To znamená, že každý vektor $\mathbf{v_1} = $, kde $v_{11} = -2v_{12}$ je vlastní vektor $A$ s eigenvalue 1.
Ucpávání $\lambda_2$ do $\eqref{eq:Avlv}$, dostáváme:$$\left\left= 3 \left$$, ze které se dostaneme $v_{21} = 0$ a $v_{22} \in \mathbb{R}$. To znamená, že jakýkoli vektor $ \ mathbf{v_2} = $ kde $v_{21} = 0$ je vlastní vektor $a$ s vlastní hodnotou 3.

proč je eigendecomposition užitečný?

s odkazem na náš předchozí příklad můžeme spojit vlastní vektory i vlastní čísla v jedné maticové rovnici:$$\Left = \left\left =\left\left =\left\left$$Pokud bychom nahradit:$$\Lambda = \left$$$$V = \left$$to je také pravda, že:$$AV = V\Lambda$$$$\begin{equation}A = V\Lambda V^{-1}\label{eq:AVLV}\end{equation}$$Eigendecomposition rozkládá matice $A$ do násobení matice vlastní vektory $V$ a diagonální matici vlastní čísla $\Lambda$. To lze provést pouze tehdy, je-li matice diagonalizovatelná. Ve skutečnosti, definice diagonalizable matice $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ je, že to může být eigendecomposed do $n$ vektorů, tak, že $V^{-1}AV = \Lambda$.

inverzní Matice s eigendecomposition

Z $\eqref{eq:AVLV}$:$$A^{-1} = V \Lambda^{-1}V^{-1}$$inverzní $\Lambda$ je inverzní každý diagonální prvek (vlastní čísla).

Napájení z matice s eigendecomposition

Z $\eqref{eq:AVLV}$:$$A^2 = V \Lambda V^{-1} V \Lambda V^{-1} = V \Lambda^{2} V^{-1}$$$$A^n = V \Lambda^n V^{-1}$$moci $\Lambda$ je jen síla každý diagonální prvek. To se stává mnohem jednodušší než násobení a.

Vlastnosti eigendecomposition

• $det(A)=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i$ (determinant je roven součinu jejích vlastních čísel)
• $tr(A)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i$ (stopa je rovna součtu jejích vlastních čísel)
• vlastní čísla $A^{-1}$ jsou $\lambda_i^{-1}$
• Na vlastní hodnoty $A^{n}$ je $\lambda_i^{n}$
• obecně platí, že vlastní čísla $f(A)$ je $f(\lambda_i)$
• vlastní vektory $A^{-1}$ jsou stejné jako vlastní vektory $A$.
• pokud $A$ je hermitian (jeho konjugovaná transpozice se rovná sama sobě) a full-rank (všechny řádky nebo sloupce jsou lineárně nezávislé), pak vlastní vektory jsou vzájemně ortogonální (dot-produkt mezi dvěma vektory je nula) a vlastní čísla jsou reálná.
• $a$ je invertabilní, pokud se všechna jeho vlastní čísla liší od nuly a naopak.
• pokud jsou vlastní hodnoty matice $a$ odlišné (neopakují se), pak A může být složeno.

jak vypočítat eigendecomposition?

výpočet charakteristického polinomiálu a jeho řešení s ohledem na vlastní čísla se stává nepraktickým, jak se velikost matice zvyšuje. V praxi se používají iterativní algoritmysestavit matici.

iterace

Power iterace je iterační metoda pro výpočet nejvyšší vlastní číslo a jeho přidružené vlastní vektor. Nachází se pouze nejvyšší hodnota / vektor, takže tato metoda je omezená.

nejprve začneme nějakým vektorem $b_0$, což může být vzdělaný odhad dominantního vlastního vektoru nebo náhodného vektoru. Poté iterujte následující rovnicí:$$b_{k+1} = \frac{a b_k} {\left \ Vert a b_k \ right\Vert}.$$Při každé iteraci je vektor ponechán-vynásoben maticí $a$ a normalizován, konvergující k dominantnímu vlastnímu vektoru. Tato metoda funguje pouze tehdy, pokud:

• $$ má vlastní hodnotu větší nebo rovna všem ostatním.
• Vektor $b_0$ má nenulovou složku ve směru dominantní vlastní vektor (tj. jejich dot-produkt je různé od nuly)

Pomocí našeho příkladu matice $A$ a počáteční vektor:$$b_0 = \left$$Pro první krok:$$b_1 = \frac{\left\left}{\left\Vert\left\left\right\Vert}= \frac{\left}{5} = \left$$Pro další kroky, opětovné použití poslední $b$ a:$$b_2= \left, b_3= \left, b_4=\left, b_5= \left$$a$$ \left\Vert A b_5 \right\Vert = 2.99$$ Pokud si vzpomínáte, nejvyšší vlastní číslo $A$ je 3 a jeho vlastní vektor $\mathbf{v} = $, kde $v_{21} = 0$ a $v_{22}$ může mít libovolnou hodnotu.

QR algoritmus

QR algoritmus používá QR rozklad iterativně, aby se eigendecomposition. Připomeňme, že rozklad QR rozkládá matici $a$ na ortogonální matici $Q$ a horní trojúhelníkovou matici $R$ as $a = QR$.