Analysis
In diesem Thema werden wir untersuchen, wie bestimmte Kombinationen mit Produkten und Potenzen trigonometrischer Funktionen integriert werden können.
Wir betrachten \(8\) Fälle.
Um Integrale von Sinus- und Cosinusprodukten mit unterschiedlichen Argumenten zu bewerten, wenden wir die Identitäten
Integrale der Form \({\large\int\normalsize} {{\sin^m}x\,{\cos^n}xdx}\)
anWir nehmen hier an, dass die Potenzen \(m\) und \(n\) nicht negative ganze Zahlen sind.
Um ein Integral dieser Form zu finden, verwenden Sie die folgenden Substitutionen:
Die Integrale vom Typ \(\int {{{\sin }^n}xdx} \) und \(\int {{{\cos }^n}xdx} \) können durch Reduktionsformeln ausgewertet werden
\
\
Integrale der Form \({\large\int\normalsize} {{\tan^n}xdx} \)
Die Potenz des Integranden kann mit der trigonometrischen Identität \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) und der Reduktionsformel reduziert werden
\
Integrale der Form \({\large\int\normalsize} {{{\cot }^n}xdx} \)
Die Potenz des Integranden kann mit der trigonometrischen Identität \(1 + {\cot ^n}x = {\csc ^n}x\) und die Reduktionsformel
\
Integrale der Form \({\large\int\normalsize} {{\sec^n}xdx} \)
Diese Art von Integralen kann mit Hilfe der Reduktionsformel vereinfacht werden:
\
Integrale der Form \({\large\int\normalsize} {{\csc^n}xdx} \)
Ähnlich wie in den vorherigen Beispielen kann diese Art von Integralen durch die Formel vereinfacht werden
\
Integrale der Form \({\large\int\normalsize} {{\tan^m}x\,{\sec^n}xdx} \)
Integrale der Form \({\large\int\normalsize} {{\cot^m}x\,{\csc^n}xdx} \)
Gelöste Probleme
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Beispiel 1.
Berechne das Integral \({\large\int\normalsize} {{\sin^3}xdx}.\)
Lösung.
Sei \(u = \cos x,\) \(du = -\sin xdx.\) Dann
Beispiel 2.
Evaluiere das Integral \({\large\int\normalsize} {{\cos^5}xdx}.\)
Lösung.
Durch die Substitution \(u = \sin x,\) \(du = \cos xdx\) und unter Verwendung der Identität \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x,\) erhalten wir
Beispiel 3.
Finde das Integral \({\large\int\normalsize} {{\sin^6}xdx}.\)
Lösung.
Mit den Identitäten \({\sin ^2}x = {\large\frac{{1 – \cos 2x}}{2}\normalsize}\) und \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\) können wir schreiben:
Berechnen Sie die Integrale im letzteren Ausdruck.
\
Um das Integral \({\large\int\normalsize} {{\cos^3}2xdx},\) zu finden, setzen wir \(u = \sin 2x,\) \(du =\) \( 2\cos 2xdx.\) Dann
Daher ist das Anfangsintegral
Beispiel 4.
Finde das Integral \(\int {{{\sin }^2}x\,{{{\cos }^3}x}dx}.\)
Lösung.
Die Potenz des Kosinus ist ungerade, also machen wir die Substitution
\
Wir schreiben das Integral in Bezug auf \(\sin x\) um, um zu erhalten:
Beispiel 5.
Berechne das Integral \({\large\int\normalsize} {{{\sin }^2}x\,{{\cos }^4}xdx}.\)
Lösung.
Wir können schreiben:
\
Wir konvertieren den Integranden mit den Identitäten
\
Man erhält
Beispiel 6.
Evaluiere das Integral \(\int {{{\sin }^3}x\,{{\cos }^4}xdx}.\)
Lösung.
Da die Potenz des Sinus ungerade ist, verwenden wir die Substitution
\
Das Integral wird geschrieben als
\
Durch die pythagoreische Identität,
\
Daher
Beispiel 7.
Evaluiere das Integral \(\int {{{\sin }^3}x\,{{\cos }^5}xdx}.\)
Lösung.
Wir sehen, dass beide Potenzen ungerade sind, so dass wir entweder \(u = \sin x\) oder \(u = \cos x\) ersetzen können.\) Wenn wir den kleinsten Exponenten wählen, haben wir
\
Das Integral hat die Form
\
Verwendung der pythagoreischen Identität,
\
wir können schreiben
Beispiel 8.
Evaluiere das Integral \(\int {{{\sin }^3}x\,{{\cos }^3}xdx}.\)
Lösung.
\
Durch die pythagoreische Identität,
\
so erhalten wir