Calculus II – Mehr zu Sequenzen
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Abschnitt 4-2 : Mehr zu Sequenzen
Im vorherigen Abschnitt haben wir das Konzept einer Sequenz vorgestellt und über Grenzen von Sequenzen und die Idee der Konvergenz und Divergenz für eine Sequenz gesprochen. In diesem Abschnitt möchten wir einen kurzen Blick auf einige Ideen mit Sequenzen werfen.
Beginnen wir mit einigen Begriffen und Definitionen.
Bei einer beliebigen Sequenz \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) haben wir Folgendes.
- Wir nennen die Sequenz, die if \({a_n} < {a_{n + 1}}\) für jedes \(n\) erhöht.
- Wir nennen die Sequenz abnehmend if \({a_n} > {a_{n + 1}}\) für jedes \(n\).
- Wenn \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) eine zunehmende Folge oder \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) eine abnehmende Folge ist, nennen wir sie monoton.
- Wenn es eine Zahl \(m\) gibt, so dass \(m \le {a_n}\) für jedes \(n\) sagen wir, dass die Sequenz unten begrenzt ist. Die Zahl \ (m\) wird manchmal als untere Grenze für die Sequenz bezeichnet.
- Wenn es eine Zahl \(M\) gibt, so dass \({a_n} \le M\) für jedes \(n\) sagen wir, dass die Sequenz oben begrenzt ist. Die Zahl \ (M\) wird manchmal als Obergrenze für die Sequenz bezeichnet.
- Wenn die Sequenz sowohl unten als auch oben begrenzt ist, nennen wir die Sequenz begrenzt.
Beachten Sie, dass eine Sequenz für jedes \ (n\) zunehmen / abnehmen muss, damit sie zunimmt oder abnimmt. Mit anderen Worten, eine Sequenz, die für drei Terme zunimmt und dann für den Rest der Terme abnimmt, ist KEINE abnehmende Sequenz! Beachten Sie auch, dass eine monotone Sequenz immer zunehmen oder abnehmen muss.
Bevor wir fortfahren, sollten wir kurz auf die Grenzen für eine Sequenz eingehen, die oben und / oder unten begrenzt ist. Wir werden den Punkt über untere Grenzen machen, aber wir könnten es genauso gut über obere Grenzen machen.
Eine Sequenz ist unten begrenzt, wenn wir eine beliebige Zahl \(m\) finden können, so dass \(m \le {a_n}\) für jedes \(n\). Beachten Sie jedoch, dass, wenn wir eine Zahl \(m\) finden, die für eine untere Grenze verwendet werden soll, jede Zahl, die kleiner als \(m\) ist, auch eine untere Grenze ist. Nur weil wir eine untere Grenze finden, bedeutet das nicht, dass es keine „bessere“ untere Grenze für die Sequenz gibt als die, die wir gefunden haben. Mit anderen Worten, es gibt unendlich viele Untergrenzen für eine Sequenz, die darunter begrenzt ist, einige sind besser als andere. In meiner Klasse wird alles, wonach ich suche, eine untere Grenze sein. Ich brauche nicht unbedingt die beste untere Grenze, nur eine Zahl, die eine untere Grenze für die Sequenz sein wird.
Schauen wir uns ein paar Beispiele an.
- \(\links\{ { – {n^2}} \rechts\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\ links\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\ left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \)
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Diese Folge ist eine abnehmende Folge (und daher monoton), weil
\
für jedes \(n\).
Da die Sequenzterme entweder Null oder negativ sind, ist diese Sequenz oben begrenzt. Wir können jede positive Zahl oder Null als Grenze verwenden, \(M\), es ist jedoch Standard, die kleinstmögliche Grenze zu wählen, wenn wir können, und es ist eine schöne Zahl. Wir wählen also \(M = 0\) da
\
Diese Sequenz jedoch nicht darunter begrenzt ist, da wir immer unter jede Potentialgrenze gelangen können, indem wir \(n\) groß genug nehmen. Daher ist die Sequenz, während sie darüber begrenzt ist, nicht begrenzt.
Als Randnotiz können wir auch feststellen, dass diese Sequenz abweicht (zu \( – \infty \) wenn wir spezifisch sein wollen).
b \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Lösung anzeigen
Die Sequenzterme in dieser Sequenz wechseln zwischen 1 und -1 und so ist die Sequenz weder eine zunehmende Sequenz noch eine abnehmende Sequenz. Da die Sequenz weder eine zunehmende noch eine abnehmende Sequenz ist, ist sie keine monotone Sequenz.
Die Sequenz ist jedoch begrenzt, da sie oben durch 1 und unten durch -1 begrenzt ist.
Auch hier können wir feststellen, dass diese Sequenz ebenfalls divergent ist.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \) Lösung anzeigen
Diese Folge ist eine abnehmende Folge (und daher monoton), da
\
Die Terme in dieser Folge alle positiv sind und daher durch Null begrenzt sind. Da die Sequenz eine abnehmende Sequenz ist, ist der erste Sequenzterm der größte und wir können sehen, dass die Sequenz auch oben durch \(\frac{2}{{25}}\). Daher ist diese Sequenz begrenzt.
Wir können auch ein schnelles Limit nehmen und feststellen, dass diese Sequenz konvergiert und ihr Limit Null ist.
Lassen Sie uns nun ein paar weitere Beispiele erarbeiten, die sicherstellen sollen, dass wir uns nicht zu sehr daran gewöhnen, uns bei diesen Problemen auf unsere Intuition zu verlassen. Wie wir im vorherigen Abschnitt bemerkt haben, kann uns unsere Intuition oft mit einigen der Konzepte, die wir in diesem Kapitel betrachten werden, in die Irre führen.
- \(\links\{ {\displaystyle \frac{n}{{n + 1}}} \rechts\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\ left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
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Wir werden zuerst mit dem begrenzten Teil dieses Beispiels beginnen und dann zurückkommen und uns mit der zunehmenden / abnehmenden Frage befassen, da die Schüler dort oft Fehler mit dieser Art von Sequenz machen.
Erstens ist \(n\) positiv und daher sind die Sequenzterme alle positiv. Die Folge ist daher unten durch Null begrenzt. Ebenso ist jeder Sequenzterm der Quotient einer Zahl geteilt durch eine größere Zahl und ist daher garantiert kleiner als eins. Die Sequenz wird dann oben durch eins begrenzt. Diese Sequenz ist also begrenzt.
Lassen Sie uns nun über die monotone Frage nachdenken. Erstens machen die Schüler oft den Fehler anzunehmen, dass der Quotient abnehmen muss, weil der Nenner größer ist. Dies wird nicht immer der Fall sein, und in diesem Fall würden wir uns irren. Diese Sequenz nimmt zu, wie wir sehen werden.
Um die zunehmende / abnehmende Natur dieser Sequenz zu bestimmen, müssen wir auf Kalkül-I-Techniken zurückgreifen. Betrachten Sie zuerst die folgende Funktion und ihre Ableitung.
\
Wir können sehen, dass die erste Ableitung immer positiv ist, und so wissen wir aus der Infinitesimalrechnung I, dass die Funktion dann eine zunehmende Funktion sein muss. Also, wie hilft uns das? Beachten Sie, dass
\
Da \(n < n + 1\) und \(f\left( x \right)\) zunehmen, können wir auch sagen, dass
\
Mit anderen Worten, die Sequenz muss zunehmen.
Beachten Sie, dass wir jetzt, da wir wissen, dass die Sequenz eine zunehmende Sequenz ist, eine bessere untere Grenze für die Sequenz erhalten können. Da die Sequenz zunimmt, muss der erste Term in der Sequenz der kleinste Term sein, und da wir bei \(n = 1\) beginnen, könnten wir auch eine untere Grenze von \(\frac{1}{2}\) für diese Sequenz verwenden. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass jede Zahl, die immer kleiner oder gleich allen Sequenztermen ist, eine Untergrenze sein kann. Einige sind jedoch besser als andere.
Ein schnelles Limit sagt uns auch, dass diese Sequenz mit einem Limit von 1 konvergiert.
Bevor wir zum nächsten Teil übergehen, gibt es eine natürliche Frage, die viele Schüler an dieser Stelle haben werden. Warum haben wir Kalkül verwendet, um die zunehmende / abnehmende Natur der Sequenz zu bestimmen, wenn wir nur ein paar \ (n \) hätten einstecken und schnell dasselbe bestimmen können?
Die Antwort auf diese Frage ist der nächste Teil dieses Beispiels!
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Show Solution
Dies ist eine chaotisch aussehende Sequenz, aber es muss sein, um den Punkt dieses Teils zu machen.
Beachten Sie zunächst, dass die Sequenzterme wie im vorherigen Teil alle positiv sind und alle kleiner als eins sind (da der Zähler garantiert kleiner als der Nenner ist) und die Sequenz daher begrenzt ist.
Gehen wir nun zur Frage der Zunahme / Abnahme über. Wie beim letzten Problem werden viele Schüler die Exponenten im Zähler und Nenner betrachten und basierend darauf bestimmen, dass die Sequenzterme abnehmen müssen.
Dies ist jedoch keine abnehmende Folge. Schauen wir uns die ersten paar Begriffe an, um dies zu sehen.
\
Die ersten 10 Terme dieser Sequenz nehmen alle zu und so kann die Sequenz eindeutig keine abnehmende Sequenz sein. Denken Sie daran, dass eine Sequenz nur abnehmend sein kann, wenn ALLE Terme abnehmend sind.
Nun können wir keinen weiteren häufigen Fehler machen und annehmen, dass, weil die ersten Terme zunehmen, auch die ganze Sequenz zunehmen muss. Wenn wir das tun würden, würden wir uns auch irren, da dies auch keine zunehmende Sequenz ist.
Diese Sequenz nimmt weder ab noch zu. Der einzige sichere Weg, dies zu sehen, besteht darin, den Kalkül zu verwenden, den ich zum Erhöhen / Verringern von Funktionen anwende.
In diesem Fall benötigen wir die folgende Funktion und ihre Ableitung.
\
Diese Funktion hat die folgenden drei kritischen Punkte,
\{{30000}} \ approx 13.1607,\hspace{0.25in}\,\,\,\,x = – \sqrt{{30000}} \approx – 13.1607\]
Warum kritische Punkte? Denken Sie daran, dass dies die einzigen Stellen sind, an denen die Ableitung das Vorzeichen ändern kann! Unsere Sequenz beginnt bei \(n = 0\) und so können wir die dritte ignorieren, da sie außerhalb der Werte von \(n\) liegt, die wir in Betracht ziehen. Indem wir einige Testwerte von \(x\) einstecken, können wir schnell feststellen, dass die Ableitung für \(0 < x < \sqrt{{30000}} \approx 13.16\) positiv ist und die Funktion in diesem Bereich zunimmt. Ebenso können wir sehen, dass die Ableitung für \(x > \sqrt{{30000}} \approx 13.16\) negativ ist und die Funktion in diesem Bereich abnimmt.
Unsere Sequenz wird also für \(0 \le n \le 13\) zunehmen und für \(n \ge 13\) abnehmen. Daher ist die Funktion nicht monoton.
Beachten Sie schließlich, dass diese Sequenz ebenfalls konvergiert und eine Grenze von Null hat.
Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, müssen wir vorsichtig sein, wenn wir Annahmen über Sequenzen treffen. Unsere Intuition reicht oft nicht aus, um die richtige Antwort zu erhalten, und wir können NIEMALS Annahmen über eine Sequenz treffen, die auf dem Wert der ersten Terme basiert. Wie der letzte Teil gezeigt hat, gibt es Sequenzen, die für einige Terme zunehmen oder abnehmen und danach die Richtung ändern.
Beachten Sie auch, dass wir hier „erste Terme“ gesagt haben, aber es ist durchaus möglich, dass eine Sequenz für die ersten 10.000 Terme abnimmt und dann für die verbleibenden Terme zunimmt. Mit anderen Worten, es gibt keinen „magischen“ Wert von \(n\), für den wir nur bis zu diesem Punkt überprüfen müssen, und dann wissen wir, was die gesamte Sequenz tun wird.
Das einzige Mal, dass wir die Verwendung von Calculus I-Techniken vermeiden können, um die zunehmende / abnehmende Natur einer Sequenz zu bestimmen, ist in Sequenzen wie Teil (c) von Beispiel 1. In diesem Fall hat das Erhöhen von \(n\) nur den Nenner verändert (tatsächlich erhöht), und so konnten wir das Verhalten der Sequenz basierend darauf bestimmen.
In Beispiel 2 erhöhte jedoch das Erhöhen von \(n\) sowohl den Nenner als auch den Zähler. In solchen Fällen gibt es keine Möglichkeit zu bestimmen, welcher Anstieg „gewinnt“ und dazu führt, dass die Sequenzterme zunehmen oder abnehmen, und daher müssen wir auf Kalkül-I-Techniken zurückgreifen, um die Frage zu beantworten.
Wir schließen diesen Abschnitt mit einem schönen Satz ab, den wir später in diesem Kapitel in einigen Beweisen verwenden werden.
Theorem
Wenn \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) begrenzt und monoton ist, dann ist \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) konvergent.
Achten Sie darauf, diesen Satz nicht zu missbrauchen. Es heißt nicht, dass eine Sequenz, wenn sie nicht begrenzt und / oder nicht monoton ist, divergent ist. Beispiel 2b ist ein gutes Beispiel. Die Sequenz in diesem Beispiel war nicht monoton, aber sie konvergiert.
Beachten Sie auch, dass wir mehrere Varianten dieses Satzes machen können. Wenn \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) oben begrenzt ist und zunimmt, konvergiert es und ebenso, wenn \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) unten begrenzt ist und abnimmt, konvergiert es.