Cholesky-Zerlegung mit R Beispiel

BY admin
|

Methode zur Zersetzung einer positiv-bestimmten Matrix. Eine positiv-bestimmte Matrix ist definiert als eine symmetrische Matrix, wobei für alle möglichen Vektoren \(x\), \(x’Ax > 0\). Die Cholesky-Zerlegung und andere Zerlegungsverfahren sind wichtig, da es nicht oft möglich ist, Matrixberechnungen explizit durchzuführen.

Die Cholesky-Zerlegung, auch bekannt als Cholesky-Faktorisierung, ist eine Methode zur Zerlegung einer positiv-Definitematrix. Apositiv-definite Matrix ist definiert als symmetrische Matrix, wobei für alle möglichen Vektoren \(x\), \(x’Ax > 0\). Cholesky-Zerlegung und andere Zersetzungsmethoden sind wichtig, da es nicht oft möglich ist, Matrixberechnungen explizit durchzuführen. Einige Anwendungen von Choleskydecompositionumfassen das Lösen linearer Gleichungssysteme, Monte-Carlo-Simulation undKalman-Filter.

Die Cholesky-Zerlegung faktorisiert eine positiv-bestimmte Matrix \(A\) in:

$$ A = LL ^ T$$

So zerlegen Sie eine Matrix mit Cholesky-Zerlegung

Es gibt viele Methoden zur Berechnung einer Matrixzerlegung mit derCholesky-Ansatz. Dieser Beitrag verfolgt einen ähnlichen Ansatz wie dieserimplementierung.

Die Schritte zum Faktorisieren der Matrix lauten wie folgt:

  1. Berechnen Sie \(L_1 = \sqrt{a_{11}}\)

  2. Für \(k = 2, \Punkte, n\):

  3. Finde \(L_{k-1} l_k = a_k\) für \(l_k\)

  4. \( l_{kk} = \sqrt{a_{kk} – l_k^T l_k}\)
  5. \( L_k =
    \begin{bmatrix} L_{k-1} & 0 \\ l_k^T & l_{kk}\Ende{bmatrix}

    \)

Ein Beispiel für die Cholesky-Zerlegung

Betrachten Sie die folgende Matrix \(A\).

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 3 & 6 & 9\ end{bmatrix}$$

Die obige Matrix \(A\) stammt aus Übung 2.16 im Buch Methods ofMultivariate Analysis von Alvin Rencher.

Beginnen Sie mit \(L_1\) .

$$ L_1 = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{3} = 1.732051 $$

Als nächstes finden wir \(l_2\)

$$ l_2 = \frac{a_{21}}{L_1} = \frac{4}{\sqrt{3}} = 2.309401 $$

Dann kann \(l_{22}\) berechnet werden.

$$ l_{22} = \sqrt{a_{22} – l_2^T l_2} = \sqrt{8 – 2.309401^2} = 1.632993 $$

Wir haben jetzt die \(L_2\) Matrix:

$$L_2 = \begin{bmatrix} L_1 & 0 \\ l_2^T & l_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\end{bmatrix}$$

Da die Matrix \(3 \times 3\) ist, benötigen wir nur eine weitere Iteration.

Mit \(L_2\) berechnet, kann \(l_3\) gefunden werden:

$$ l_3 = \frac{a_3}{L_2} = a_3 L_2^{-1} = \begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\ ende{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 3 \\ 6\end{bmatrix}$$
$$ l_3 = \begin{bmatrix} 1.7320508 \\ 1.224745 \ende{bmatrix}$$

\( l_{33}\) wird dann gefunden:

$$ l_{33} = \sqrt{a_{33} – l_3^T l_3} = \sqrt{9 – \begin{bmatrix}1.7320508 & 1.224745\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1.7320508 \\ 1.224745\Ende{bmatrix}} = 2.12132 $$

Das gibt uns die \(L_3\) Matrix:

$$L_3 = \begin{bmatrix} 1.7320508 & 0 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 & 0 \\ 1.7320508 & 1.224745 & 2.12132\ end{bmatrix}$$

Die \(L_3\) Matrix kann dann als Lösung genommen werden. Durch Transponieren der Dekomposition wird die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix umgewandelt.

Cholesky-Zerlegung in R

Die Funktion chol() führt eine Cholesky-Zerlegung auf einer positivdefinierten Matrix durch. Wir definieren die Matrix \(A\) wie folgt.

A = as.matrix(data.frame(c(3,4,3),c(4,8,6),c(3,6,9)))colnames(A) <- NULLA
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

Faktorisieren Sie dann die Matrix mit der Funktion chol().

A.chol <- chol(A)A.chol
## ## 1.732051 2.309401 1.732051## 0.000000 1.632993 1.224745## 0.000000 0.000000 2.121320

Die Funktion chol() gibt eine obere Dreiecksmatrix zurück. Die Transponierung der zerlegten Matrix ergibt eine niedrigere Dreiecksmatrix als in unserem obigen Ergebnis.

t(A.chol)
## ## 1.732051 0.000000 0.00000## 2.309401 1.632993 0.00000## 1.732051 1.224745 2.12132

Unser obiges Ergebnis stimmt mit der Ausgabe der Funktion chol() überein.

Wir können auch die Identität \(A = LL^T\) mit dem Ergebnis anzeigen.

t(A.chol) %*% A.chol
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

Zusammenfassung

Die Cholesky-Zerlegung wird häufig verwendet, wenn die direkte Berechnung einer Matrix nicht optimal ist. Die Methode wird aufgrund ihrer relativ effizienten Natur und Stabilität in einer Vielzahl von Anwendungen wie der multivariaten Analyse eingesetzt.

(2011). Abgerufen vonhttp://www.seas.ucla.edu/~vandenbe/103/lectures/chol.pdf

Algorithmus für die Cholesky-Zerlegung. Abgerufen vonhttp://www.math.sjsu.edu/~foster/m143m/cholesky.pdf

Cholesky decomposition (2016). In: Wikipedia. Abgerufen vonhttps://de.in: wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition

Rencher, A. C. (2002). Methoden der multivariaten Analyse. New York: J. Wiley.

  • Quadratische Diskriminanzanalyse mehrerer Gruppen
  • Quadratische Diskriminanzanalyse zweier Gruppen
  • Diskriminanzanalyse mehrerer Gruppen
  • Lineare Diskriminanzanalyse zur Klassifizierung mehrerer Gruppen
  • Lineare Diskriminanzanalyse zur Klassifizierung zweier Gruppen