Fixed-Point-Theorem
Fixed-Point-Theorem, jeder der verschiedenen Sätze in der Mathematik, der sich mit einer Transformation der Punkte einer Menge in Punkte derselben Menge befasst, wobei bewiesen werden kann, dass mindestens ein Punkt fest bleibt. Wenn zum Beispiel jede reelle Zahl quadriert wird, bleiben die Zahlen Null und eins fest; während die Transformation, bei der jede Zahl um eins erhöht wird, keine feste Zahl hinterlässt. Das erste Beispiel, die Transformation, die aus der Quadrierung jeder Zahl besteht, wenn sie auf das offene Intervall von Zahlen angewendet wird, die größer als Null und kleiner als eins (0,1) sind, hat ebenfalls keine festen Punkte. Die Situation ändert sich jedoch für das geschlossene Intervall mit den Endpunkten. Eine kontinuierliche Transformation ist eine, bei der benachbarte Punkte in andere benachbarte Punkte umgewandelt werden. (Siehe Kontinuität. Brouwers Fixpunktsatz besagt, dass jede kontinuierliche Transformation einer geschlossenen Scheibe (einschließlich der Grenze) in sich selbst mindestens einen Punkt fixiert lässt. Der Satz gilt auch für kontinuierliche Transformationen der Punkte in einem geschlossenen Intervall, in einer geschlossenen Kugel oder in abstrakten höherdimensionalen Mengen analog zur Kugel.
Fixpunktsätze sind sehr nützlich, um herauszufinden, ob eine Gleichung eine Lösung hat. In Differentialgleichungen transformiert beispielsweise eine Transformation, die als Differentialoperator bezeichnet wird, eine Funktion in eine andere. Das Finden einer Lösung einer Differentialgleichung kann dann als Finden einer Funktion interpretiert werden, die durch eine verwandte Transformation unverändert bleibt. Durch Betrachten dieser Funktionen als Punkte und Definieren einer Sammlung von Funktionen analog zu der obigen Sammlung von Punkten, die eine Scheibe umfassen, können Sätze analog zu Brouwers Fixpunktsatz für Differentialgleichungen bewiesen werden. Der berühmteste Satz dieses Typs ist der Leray-Schauder-Satz, der 1934 vom Franzosen Jean Leray und dem Polen Julius Schauder veröffentlicht wurde. Ob diese Methode eine Lösung liefert (d. H. Ob ein Festpunkt gefunden werden kann oder nicht), hängt von der genauen Art des Differentialoperators und der Sammlung von Funktionen ab, aus denen eine Lösung gesucht wird.