Identitätselement

Jedes mathematische Objekt, das, wenn es durch eine Operation wie Addition oder Multiplikation auf ein anderes mathematisches Objekt wie eine Zahl angewendet wird, das andere Objekt unverändert lässt, wird als Identitätselement bezeichnet. Die beiden bekanntesten Beispiele sind 0, die, wenn sie zu einer Zahl addiert wird, die Zahl ergibt, und 1, die ein Identitätselement für die Multiplikation ist.

Formal wird ein Identitätselement in Bezug auf eine gegebene Operation und eine gegebene Menge von Elementen definiert. Zum Beispiel ist 0 das Identitätselement für die Addition von ganzen Zahlen; 1 ist das Identitätselement für die Multiplikation von reellen Zahlen. Aus diesen Beispielen wird deutlich, dass die Operation zwei Elemente beinhalten muss, wie es die Addition tut, nicht ein einziges Element, als solche Operationen wie das Nehmen einer Potenz.

Manchmal hat eine Menge für eine Operation kein Identitätselement. Zum Beispiel hat die Menge der geraden Zahlen kein Identitätselement für die Multiplikation, obwohl es ein Identitätselement für die Addition gibt. Die meisten mathematischen Systeme erfordern ein Identitätselement. Zum Beispiel könnte eine Gruppe von Transformationen nicht ohne ein Identitätselement existieren, das die Transformation ist, die ein Element der Gruppe unverändert lässt.