Steuerungssysteme – Nyquist Plots

Nyquist-Diagramme sind die Fortsetzung von Polardiagrammen zum Ermitteln der Stabilität der Regelsysteme durch Variieren von ω von −∞ bis ∞. Das heißt, Nyquist-Plots werden verwendet, um den vollständigen Frequenzgang der Open-Loop-Übertragungsfunktion zu zeichnen.

Nyquist-Stabilitätskriterium

Das Nyquist-Stabilitätskriterium arbeitet nach dem Argumentationsprinzip. Es besagt, dass, wenn es P-Pole gibt und Z−Nullen von dem geschlossenen Pfad der ’s‘-Ebene eingeschlossen sind, die entsprechende $ G (s) H (s) $ -Ebene den Ursprung $ P – Z $ mal umkreisen muss. Wir können also die Anzahl der Einkreisungen N schreiben als,

$$N=P-Z$$

• Wenn der geschlossene Pfad der eingeschlossenen ’s‘-Ebene nur Pole enthält, ist die Richtung der Einkreisung in der $ G (s) H (s) $ -Ebene entgegengesetzt zur Richtung des geschlossenen Pfades in der ’s‘-Ebene.

• Wenn der geschlossene Pfad der eingeschlossenen ’s‘-Ebene nur Nullen enthält, liegt die Richtung der Einkreisung in der $ G (s) H (s) $ -Ebene in derselben Richtung wie die des geschlossenen Pfades in der ’s‘-Ebene.

Wenden wir nun das Argumentationsprinzip auf die gesamte rechte Hälfte der s-Ebene an, indem wir sie als geschlossenen Pfad auswählen. Dieser ausgewählte Pfad wird als Nyquist-Kontur bezeichnet.

Wir wissen, dass das Regelsystem stabil ist, wenn sich alle Pole der Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis in der linken Hälfte der s-Ebene befinden. Die Pole der Closed-Loop-Übertragungsfunktion sind also nichts anderes als die Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Wenn die Reihenfolge der charakteristischen Gleichung zunimmt, ist es schwierig, die Wurzeln zu finden. Lassen Sie uns also diese Wurzeln der charakteristischen Gleichung wie folgt korrelieren.

• Die Pole der charakteristischen Gleichung sind die gleichen wie die der Pole der Open-Loop-Übertragungsfunktion.

• Die Nullen der charakteristischen Gleichung sind die gleichen wie die der Pole der Closed-Loop-Übertragungsfunktion.

Wir wissen, dass die open loop control system ist stabil, wenn es ist keine open loop pol in die die rechte hälfte der ’s‘ flugzeug.

dh $ P = 0 \Rightarrow N=-Z $

Wir wissen, dass das Regelsystem stabil ist, wenn sich in der rechten Hälfte der s-Ebene kein geschlossener Pol befindet.

d.h.,$ Z = 0 \Rightarrow N=P $

Das Nyquist-Stabilitätskriterium besagt, dass die Anzahl der Einkreisungen um den kritischen Punkt (1 + j0) gleich den Polen der Gleichung sein muss, die nichts anderes als die Pole der Open-Loop-Übertragungsfunktion in der rechten Hälfte der ’s‘-Ebene sind. Die Verschiebung des Ursprungs nach (1 + j0) ergibt die charakteristische Gleichungsebene.

Regeln zum Zeichnen von Nyquist-Plots

Befolgen Sie diese Regeln zum Zeichnen der Nyquist-Plots.

• Suchen Sie die Pole und Nullen der Open-Loop-Übertragungsfunktion $ G (s) H (s) $ in der ’s‘-Ebene.

• Zeichnen Sie das Polardiagramm, indem Sie $ \ omega $ von Null bis Unendlich variieren. Wenn Pol oder Null bei s = 0 vorhanden sind, variieren Sie $ \ omega $ von 0 + bis unendlich, um ein Polardiagramm zu zeichnen.

• Zeichnen Sie das Spiegelbild des obigen Polardiagramms für Werte von $ \ omega $ von − ∞ bis Null (0 − wenn ein Pol oder eine Null bei s = 0 vorhanden ist).

• Die Anzahl der Halbkreise mit unendlichem Radius entspricht der Anzahl der Pole oder Nullen am Ursprung. Der Halbkreis mit unendlichem Radius beginnt an dem Punkt, an dem das Spiegelbild des Polardiagramms endet. Und dieser Halbkreis mit unendlichem Radius endet an dem Punkt, an dem das Polardiagramm beginnt.

Nach dem Zeichnen des Nyquist-Diagramms können wir die Stabilität des Regelsystems anhand des Nyquist-Stabilitätskriteriums ermitteln. Wenn der kritische Punkt (-1+ j0) außerhalb der Einkreisung liegt, ist das Regelsystem absolut stabil.

Stabilitätsanalyse mit Nyquist-Plots

Anhand der Nyquist-Plots können wir anhand der Werte dieser Parameter feststellen, ob das Steuersystem stabil, geringfügig stabil oder instabil ist.

• Gain Cross over frequency und phase cross over frequency
• Gain Margin und Phase margin

Phase Cross over Frequency

Die Frequenz, bei der das Nyquist-Diagramm die negative reale Achse schneidet (der Phasenwinkel beträgt 1800), wird als Phasenkreuzfrequenz bezeichnet. Es wird mit $ \omega_{pc} $ bezeichnet.

Verstärkungskreuzfrequenz

Die Frequenz, bei der das Nyquist-Diagramm die Größe eins hat, wird als Verstärkungskreuzfrequenz bezeichnet. Es wird mit $ \omega_{gc} $ bezeichnet.

Die Stabilität des Regelsystems basierend auf dem Verhältnis zwischen Phasenübergangfrequenz und Verstärkungsübergangfrequenz ist unten aufgeführt.

• Wenn die Phasenübergangsfrequenz $ \ omega_{pc} $ größer ist als die Verstärkungsübergangsfrequenz $\omega_{gc} $, ist das Steuersystem stabil.

• Wenn die Phasenübergangsfrequenz $ \ omega_ {pc} $ gleich der Verstärkungsübergangsfrequenz $\ omega_{gc} $ ist, ist das Steuersystem geringfügig stabil.

• Wenn die Phasenübergangsfrequenz $\ omega_{pc} $ kleiner als die Verstärkungsübergangsfrequenz $\omega_{gc} $ ist, ist das Steuersystem instabil.

Verstärkungsrand

Der Verstärkungsrand $ GM $ ist gleich dem Kehrwert der Größe des Nyquist-Diagramms bei der Phasenkreuzfrequenz.

$$GM=\frac{1}{M_{pc}}$$

Wobei $ M_ {pc} $ die Größe im Normalmaßstab bei der Phasenkreuzfrequenz ist.

Phasenrand

Der Phasenrand $PM$ ist gleich der Summe aus 1800 und dem Phasenwinkel bei der Verstärkungskreuzfrequenz.

$$PM=180 ^ 0+\phi_{gc}$$

Wobei $\phi_{gc} $ der Phasenwinkel bei der Verstärkungskreuzfrequenz ist.

Die Stabilität des Regelsystems basierend auf der Beziehung zwischen dem Verstärkungsrand und dem Phasenrand ist unten aufgeführt.

• Wenn die Gewinnmarge $GM$ größer als eins ist und die Phasenmarge $PM$ positiv ist, dann ist das Steuersystem stabil.

• Wenn der Verstärkungsrand $ GM $ gleich eins ist und der Phasenrand $ PM $ null Grad beträgt, ist das Steuersystem geringfügig stabil.

• Wenn der Verstärkungsrand $GM$ kleiner als eins ist und/oder der Phasenrand $PM$ negativ ist, dann ist das Steuersystem instabil.