Was ich aus vielen Jahren des Unterrichtens von Kalkül für Studienanfänger gelernt habe

Was ich aus vielen Jahren des Unterrichtens von Kalkül gelernt habe

für Studienanfänger

AMTNJ-Konferenz

Mathematik auf Kurs halten: Die Lücke schließen

Zwischen Highschool- und College-Mathematik

14. Januar 2005

Brookdale Community College

Joseph G. Rosenstein (Rutgers-NewBrunswick)

Warum haben so viele Studienanfänger Schwierigkeiten mitkalkül, wenn sie gut vorbereitet zu sein scheinen?

Als ich das letzte Mal Kalkül im ersten Semester unterrichtete, hatten 41% der61 Schüler in der Klasse Noten von C oder schlechter.

Hier sind einige weitere Daten. 82% der Schüler in der Klasse hatten ein Semester oder mehr Kalkül inHigh School, und 73% hatten ein Jahr oder mehr Kalkül in der High School. (35% hatten sogar ein Jahr AP-Kalkül.) Nach allen Berichten ist dies eine Gruppe, die istgut vorbereitet für College-Kalkül.

Die schlechte Nachricht ist, dass wir, wenn wir die Daten zusammenstellen, schließen können, dass mindestens 23% meiner Schüler einen Calculus-Kurs in der Highschool besucht hatten, es aber nicht geschafft hatten, in einem Calculus-Kurs in der Hochschule besser als C abzuschneiden.

Warum gibt es so viele Studenten, die substantialmath Kurse in der High School genommen haben, aber nicht erfolgreich in Kalkül?

In diesem kurzen Vortrag werde ich drei Arten von Themen – Inhalt, Prozess und persönliche Themen – in etwa 15 Minuten diskutieren und dann das Wort zur Diskussion eröffnen.

Unter „Inhalt“ besteht das Hauptproblem nicht darin, dass die Schüler die Konzepte der Analysis nicht verstehen, sondern dass sie keine Kenntnisse in Arithmetik und Algebra haben.

Ein Student bemerkte einmal, dass ein bestimmtes Problem das betraf, was er „intensive Algebra“ nannte – womit er meinte, dass er viel von seinem Algebra-Wissen aufbringen musste, um die Berechnungen in einem einzigen Problem durchzuführen. Dies geschieht zum Beispiel, wenn Schüler die Ableitung der Funktion f (x) = 1 / (x + 3) aus der Definition finden müssen – das heißt, wie im Beispiel müssen sie die Grenze eines Differenzquotienten finden, da h auf Null geht. Denken Sie über die Schritte nach, die sie unternehmen müssenlösen Sie dieses Problem. Sie müssen:

schreibe einen korrekten Ausdruck für f(x+h) angesichts der Gleichungfür f(x);

kombiniere zwei Brüche im Zähler zu einer Singlefraction;

kombiniere eine Summe und Differenz von Begriffen;

transformiere einen Bruch, der einen Bruch im Zähler hat, in einen, der dies nicht tut;

finde einen gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner und annulliere ihn richtig;

Nimm ein Limit und drücke das Ergebnis in der entsprechenden Form aus.

Sie müssen nicht nur in der Lage sein, jeden dieser Schritte einzeln durchzuführen, sie benötigen auch ein funktionierendes Überwachungssystem auf hoher Ebene, das das „große Ganze“ sieht, das bei der Suche nach dem Derivat eine Rolle spielt, und ihnen sagt, was sie bei jedem Schritt tun müssen.

Dennoch machen viele von ihnen immer noch Fehler, die seit der Mittelklasse bestehen – zum Beispiel, wenn sie Verstöße gegen Begriffe nicht ordnungsgemäß stornieren.

Eine solche Frage wird in der Halbzeitprüfung und in der Abschlussprüfung gestellt, und obwohl sie alle wissen, dass sie in der Lage sein werden, dies zu tun, sind viele von ihnen nicht in der Lage, die Aufgabe korrekt zu erledigen.

Wenn wir über die NCTM-Standards sprechen, tun wir oft so, als ob die Prozessstandards die Inhaltsstandards ersetzt hätten, dieses Verständnis hat sie ersetzt. Das ist nicht der Fall. Wir wollen uns auf Vernunft und Problemlösung konzentrieren, aber wir wollen auch, dass unsere Schüler die entsprechende Fähigkeit mit mathematischen Operationen haben.

Welche Einrichtung ist „angemessen“? Das hängt vom Schüler ab. Diejenigen, die am Ende mehrere Semester Kalkül am College absolvieren werden, sind definitiv benachteiligt, wenn sie Schwierigkeiten mit Arithmetik und Algebra haben.

Auf der anderen Seite brauchen diejenigen, die wahrscheinlich nicht weiter rechnen, keine intensive Algebra. Butassuming, dass ein bestimmter Schüler in dieser Kategorie ist, kann aself-fulfilling prophecy am Ende sein.

Ein Exkurs über Algebra Fähigkeiten. Viele Leute haben Rutgers’Placement Test mit der Begründung kritisiert, dass er nicht mit den Standards übereinstimmt, mit unseren Reformbemühungen, da er sich auf Fähigkeiten konzentriert. Aber ich muss Ihnen sagen, dass es ein gutes Maß für die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs in precalculus und Kalkül, und hat so in den letzten 20 Jahren, da wir es eingeführt. Es measuresstudents’Anlage mit der Voraussetzung Fähigkeiten … weil Anlage mit theprerequirements ist wesentlich für den Erfolg in diesen Kursen.

Ich werde meine persönlichen Erfahrungen mit Ihnen teilen. Vor ein paar Jahren erzielte eine meiner Töchterneinfach unter dem Cut-off für Precalculus. Da ich ein wenig Einfluss habe, konnte ich sie inprecalculus einschreiben und argumentierte, dass sie, wenn sie Schwierigkeiten hatte, Zugang zu einem guten Tutor hatte. Das war richtig … aber es war auch ein Fehler – ich habe viel Nachhilfe gemacht. Sie war nicht bereit für precalculus.

Das ist das Ende des Exkurses.

Jetzt ist eine Klarstellung erforderlich. Wenn wir sagen, dass die Fähigkeit zur Algebra für den Erfolg in der Analysis von wesentlicher Bedeutung ist, meinen wir nicht nur das Erlernen von Regeln für algebraische Manipulationen. Inalgebra zu lernen bedeutet auch, die Mathematik zu verstehen, die diesen zugrunde liegtregeln. Wenn Schüler Fehler machen, sind sie oft das Ergebnis eines Missverständnisses der Mathematik, und wir alle müssen mehr Zeit damit verbringen, die falschen Ideen aufzudecken, die zu diesen Fehlern geführt haben, und den Schülern helfen, sie durch genauere mathematische Verständnisse zu ersetzen. Das bedeutet, dass Sie Fehler im Unterricht und mit den Schülern individuell diskutieren und sie nicht nur bei ihren Hausaufgaben und Tests als falsch markieren.

Algebra zu beherrschen bedeutet auch, auf die eigene mathematische Erfahrung zurückgreifen zu können, um einen geeigneten nächsten Schritt in einem Problem zu finden – das habe ich oben als Überwachung des eigenen Fortschritts bezeichnet … zu wissen, was als nächstes zu tun ist.

Das bringt uns zu „Prozessproblemen“.

Wir alle neigen dazu, das, was wir lernen, zu unterteilen – zum Teil, weil wir linear auf neue Informationen stoßen und wir sie irgendwo speichern müssen. Aber es ist sehr wichtig, dassdas Lernen verbunden sein. Alles, was wir als Lehrer tun können, um Verbindungen zwischen Themen herzustellen und die Schüler auf das Gesamtbild zu konzentrieren, ist sehr wichtig.

Es ist wichtig, Beispiele und Hausaufgabenprobleme zu geben, die verschiedene Konzepte verknüpfen, ebenso wie regelmäßige kumulative Prüfungen. Ansonsten lernen die Schüler, was sie brauchenwissen Sie für das Quiz dieser Woche und vergessen Sie es dann.

In einigen Schulen wird der Erfolg der Schüler dadurch belohnt, dass sie von den Zwischen- und Abschlussprüfungen befreit werden. Ich glaube, dass diese Praxis ein schwerwiegender Fehler ist – die Schüler haben keine Gelegenheit, die verschiedenen Kenntnisse, die sie erworben haben, zusammenzuziehen. Darüber hinaus bereitet es sie nicht auf die kumulativen Prüfungen vor, die im College Routine sind. In diesem Sinne stellte ein vor drei Wochen veröffentlichter Bericht fest, dass die Einnahme von AP-Kalkül in der High School kein Prädiktor für den Erfolg im College war, obwohl er bei der AP-Prüfung gut abgeschnitten hatte.

Wir müssen unseren Schülern helfen, das große Ganze zu verstehen. Ein Teil davon beinhaltet die Dekompartmentalisierung und Integration von Wissen, wie wir besprochen haben. Aber es gibt noch ein paar andere Aspekte.

Man ermutigt die Schüler, mehrere Perspektiven zu haben. Zum Beispiel sollten sie mit verschiedenen Aspekten der Idee einer Funktion vertraut sein – als Gleichung, in der Regel als Diagramm, als Tabelle, als Eingabe-Ausgabe–Maschine – und in der Lage sein, sich leicht zwischen diesen Darstellungen hin und her zu bewegen.

In ähnlicher Weise sollten sie in der Lage sein, sich zwischen Algebra und Geometrie hin und her zu bewegen. Wenn sie die Lösung simultaner linearer Gleichungen diskutieren, sollten sie erkennen, dass dies dasselbe ist wie die Frage, wo sich zwei Linien kreuzen. Wenn Sie eine quadratische Funktion angeben, sollten sie in der Lage sein, die von ihr definierte Parabel zu visualisieren – vielleicht nicht alle Details, aber sie sollten sich auf jeden Fall bewusst sein, dass sie eine Parabel definiert und weiß, ob sie sich nach oben oder unten öffnet. Sie sollten nicht nur in der Lage sein, eine Parabel zu visualisieren, sie solltenwirklich tun. Die Gleichung und der Graph sollten zwei Ansichten desselben Objekts sein.

Und wenn Sie die Lösungen einer quadratischen Gleichung finden, sollten sie in der Lage sein, diese mit Leichtigkeit in den Graphen der quadratischen Funktion zu übersetzen – wenn also die Wurzeln einer quadratischen Funktion beispielsweise 3 +/- sqrt2 sind, sollten sie sich vorstellen können, wo der Graph der Funktion die x-Achse kreuzt.

Am ersten Unterrichtstag gebe ich den Schülern ein kleines Stück Papier – 1/8 eines 8,5×11-Blattes und bitte sie, den Tangens des Winkels zu findender Sinus ist 3/5. Einige der studentsdraw ein Dreieck; fast alle von themthen erhalten die richtige Antwort. Einige derstudenten zeichnen kein Dreieck; Keiner von ihnen bekommt die richtige Antwort.

Da ich sie nicht bitte, ihre Namen auf die Papiere zu setzen, kann ich Lösungen für dieses Problem nicht mit ihren Noten im Kurs in Verbindung bringen, aber meine Vermutung ist, dass es einen hohen Grad an Korrelation geben würde. Studenten, die Algebra visualisieren können, wer kannbewegen Sie sich leicht von Algebra zu Geometrie und zurück, sind wahrscheinlich erfolgreich Incalculus.

In der zweiten Klasse berichte ich den Schülern über die Ergebnisse dieses Experiments und verstärke die Bedeutung der Visualisierung. Ich ermutige sie, den Visualisierungsschalter einzuschalten, damit sie sich ein Bild von jedem algebraischen Ausdruck machen können, der in ihrem Buch oder an der Tafel steht.

Ich weise darauf hin, dass ein Bild viele Informationen enthalten kann. Wenn sie beispielsweise die Graphen der Sinus–, Cosinus- und Tangentenfunktionen visualisieren und interpretieren können, müssen sie sich nur an drei Fakten erinnern: sin 30 = ½ , tan 45 = 1 und sin2x + cos2x = 1 . Fast alles, was sie sonst noch über Trigonometrie wissen müssen, kann daraus abgeleitet werden. Insbesondere müssen sie sich nicht viele, viele Fakten merken. Das ist es, was sie tun müssen, wenn sie die Bilder nicht verstehen. Einige finden das schwer zu glauben und versuchen beharrlich, sich an viele Fakten über trigonometrische Funktionen zu erinnern. Es ist kein Wunder, dass sie das manchmal fühlenihre Köpfe sind voll.

Es gibt etwa ein Dutzend Bilder, die viel aus dem Kalkül des ersten Semesters zusammenfassen – wenn Sie verstehen und erklären können, was in diesen Bildern ist, dann werden Sie in Kalkül sehr gut abschneiden. Sie finden das auch schwer zu glauben.

Ein weiteres Problem, das ich kurz erwähnen werde, ist, dass die Schüler ein besseres Gefühl dafür haben müssen, ob eine von ihnen generierte Antwort vernünftig ist. Voraussetzung dafür ist natürlich, dass sie sich tatsächlich fragen, ob ihre Antworten vernünftig sind. Tatsächlich, wenn sie fragenselbst die Frage, sie werden wahrscheinlich angemessen antworten. Das Ziel ist also, sie dazu zu bringen, diese Frage zu stellen – ist diese Antwort vernünftig?

Schließlich müssen die Schüler den Sinn für Mathematik und Sprache haben. Mathematik hat Wörter undsymbole und Regeln für ihre Verwendung. Wir ignorieren oft die Grammatik der Mathematik und erlauben unseren Schülern, Mathematik falsch zu sprechen und zu schreiben – eine Praxis, die in einer spanischen Klasse nicht erlaubt wäre. Sie verwenden also keine Klammern, wenn sie sollten, und machen infolgedessen alle möglichen Fehler. Sie verwenden das Gleichheitszeichen nicht, um gleiche Ausdrücke in ihren mathematischen Sätzen zu trennen, und infolgedessen wandern Mengen aus einem Ausdruck in einen anderen. Und sie sind oft nicht in der Lage, ihre Antworten auf Probleme zu übersetzenmathematische Sprache in die englische Sprache. Dieses Problem erfordert mehr Aufmerksamkeit von allenvon uns.

Und jetzt kommen wir zu dem, was ich persönliche Probleme nannte. Ich werde vier Punkte ansprechen. Eine davon ist, dass viele Studenten zu firstsemester Calculus kommen und denken, dass sie Calculus bereits kennen. Das mag wahr sein – aber es gilt nur für einige von ihnen. Dies ist jedoch eine gefährliche Annahme für diejenigen, die glauben, dass dies in den ersten vier Wochen des Semesters nichts tun wird … und dann feststellen, dass es zu spät ist, um aufzuholen.

Bitte warnen Sie Ihre Schüler, dass sie, obwohl sie in Ihrem Kurs erfolgreich sein mögen, nicht automatisch in einem Kurs mit dem gleichen Titel im College erfolgreich sein werden. Obwohl beide Kurse das gleiche Material abdecken, geht der College-Kurs tiefer.

Ein zweiter Punkt ist, dass die Schüler wissen müssen, dass sie in der Schule arbeiten müssen. Einige von ihnen werden in der Lage sein, ohne zu viel Arbeit auszukommen – in diesem Fall hätten sie einen schwierigeren Kurs belegen sollen –, aber die meisten von ihnen werden ihre Hände voll mit dem Kurs haben, den sie belegen – sei es Kalkül oder Präkalkül oder sogar Algebra – ob sie in diesem Kurs in der Highschool eine gute Note bekommen haben oder nicht.

Ich habe gelernt, dass der beste Prädiktor für eine gute Note inCalc 1 eine gute Note bei der allerersten Prüfung ist. Schauen Sie sich die Daten im Diagramm an. Es zeigt, dass 86% der Studenten, die in der ersten Prüfung 70% erzielten, eine Note von C + oder besser für den Kurs erhielten. Auf der anderen Seite erhielten nur 17% derjenigen, die in der ersten Prüfung weniger als 70% erreicht hatten, eine Note von C + oder besser für den Kurs. Konsequente Arbeit zahlt sich aus. Diejenigen, die gut anfangen und arbeitenkonsistent gut machen.

Studenten in meinem Kalkül 1 Klassen

Herbst 1999, Herbst 2000, Herbst 2001, Herbst 2002

# von Studenten	70% oder mehr bei der ersten Prüfung	69 oder weniger bei der ersten Prüfung	Insgesamt
Abschlussnote: C+ oder höher	74	21	105
Abschlussnote: C oder niedriger	12	102	114
	86	123	219

86% oft diejenigen, die 70% oder besser auf dem ersten Test bekam bekam ein C + oder besser im Kurs;17% derjenigen, die 69% oder schlechter auf dem ersten Test bekam bekam ein C + oder besser in thecourse

Eine andere Sache, die ich am ersten Tag des Unterrichts tun, ist eachstudent bitten, eine realistische Einschätzung zu machen, welche Klasse er oder sie erwartet, um den Kurs zu bekommen – unter Berücksichtigung aller möglichen Dinge – und Hand thatin auf einem anderen kleinen Zettel. Jeder Schüler erwartet ausnahmslos ein B oder besser!

Ich melde dies den Schülern der zweiten Klasse und zeige ihnen dann diese Tabelle. Ich sage ihnen, dass sie das Semester nicht mit dem Gedanken beginnen können, dass sie, weil sie die Formeln für einige Derivate kennen, Kalkül kennen. Ich sage ihnen, dass sie das Semester mit der Arbeit beginnen müssenkalkül. Vielleicht macht es Gleichgültigkeit. Ich sage ihnen, dass ich alles tun werde, um jedem zu helfen, die Note zu bekommen, die er oder sie hofft – aber am Ende liegt es an ihnen.

Das ist der dritte Punkt, den ich machen möchte – die Schüler müssen lernenverantwortung für ihre eigene Bildung zu übernehmen. In der High School sieht man sie jeden Tag und kann sie dazu bringen, ihr Studium ernst zu nehmen. Das ist toll. Aber wenn sie aufs College kommen, sind sie auf sich allein gestellt, und wenn sie noch nicht gelernt haben, Verantwortung für ihre Ausbildung zu übernehmen, werden sie es schwer haben.

Ich bin mir nicht sicher, wie ich sie dazu bringen soll, Verantwortung zu übernehmen, aber es gibt ein bescheidenes Experiment, das Sie versuchen könnten. Sagen Sie ihnen, dass Sie in den nächsten zwei Wochen keine Aufgaben sammeln werden. Dann geben Sie ihnen eine Prüfung auf dieMaterial. Einige von ihnen werden die Aufgaben nicht erledigen und bei der Prüfung schlecht abschneiden. Vielleicht vermittelt ihnen ihre Leistung bei dieser Prüfung, dass Sie die Hausaufgaben nicht sammeln, nicht so interpretiert werden sollten, als müssten sie es nicht tun.

Ein weiterer Aspekt der Übernahme von Verantwortung für die eigene Bildung besteht darin, um Hilfe zu bitten und die ihnen zur Verfügung stehenden Möglichkeiten zu nutzen. Weniger als 20% der Mystudenten kommen jemals zu mir, obwohl ich sie regelmäßig zu doso ermutige. Weniger als 20% meiner Schüler schicken mir ihre Fragen per E-Mail, obwohl ich ihnen sage, dass sie höchstwahrscheinlich innerhalb weniger Stunden eine Antwort erhalten werden. Obwohl ein Drittel meiner Schüler mit einem D oder F enden wird, werden nur wenige von ihnen die verschiedenen Arten von Hilfe suchen, die ihnen zur Verfügung stehen.

Die meisten Studenten haben noch nicht gelernt, dass es für sie in Ordnung ist, Hilfe zu suchen – sie haben nicht gelernt, dass sie, wenn sie Schwierigkeiten im Kurs haben, so schnell wie möglich Hilfe suchen sollten. Sie müssen wissen, dass Warten nicht gut iststrategie. Vielleicht wird Ihr Erzählen, dass tothem einen Unterschied machen.

Damit komme ich zum Ende meiner Ausführungen. Ich habe ein wenig über die inhaltlichen Probleme, die Prozessprobleme und die persönlichen Probleme gesprochen, die den Erfolg der Schüler in Präkalkül- und Kalkülkursen beeinträchtigen, und ich habe Ihnen einige Vorschläge gemacht, wie Sie die Schüler darauf vorbereiten können, die Hindernisse für ihren Erfolg zu überwinden.

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit, und wir werden jetzt eine Diskussion über diese Themen führen.