Wissenschaftliche Notation und signifikante Zahlen

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Im vorherigen Beispiel sollten Sie bemerkt haben, dass die Antwort in der sogenannten wissenschaftlichen Notation dargestellt wird.

Wissenschaftliche Notation…

…ist eine Möglichkeit, sehr kleine oder sehr große Zahlen auszudrücken
…wird am häufigsten in „wissenschaftlichen“ Berechnungen verwendet, bei denen die Analyse sehr genau sein muss
… besteht aus zwei Teilen: Einer Zahl und einer Potenz von 10. Beispiel: 1,22 x 103

Damit eine Zahl in korrekter wissenschaftlicher Notation ist, darf nur eine Ziffer links von der Dezimalstelle liegen. Also,

\begin{align}1 .22 & \times 10^ 3 \text{ ist korrekt} \\12.2 & \times 10^ 2 \text{ ist nicht}\end{align}

So konvertieren Sie nicht exponentielle Zahlen in exponentielle Zahlen:

Beispiel 1

$$ 234,999 $$

Dies ist eine große Zahl und der implizite Dezimalpunkt befindet sich am Ende der Zahl.

$$ 234,999. $$

Um dies in eine Exponentialzahl umzuwandeln, müssen wir die Dezimalstelle nach links verschieben, bis sich nur noch eine Ziffer vor dem Dezimalpunkt befindet. In dieser Zahl verschieben wir den Dezimalpunkt 5 mal.

$$ 2.34999 \text{ (fünf Zahlen)} $$

… und so ist der Exponent, den wir auf die Potenz von 10 setzen, 5. Die resultierende Exponentialzahl ist dann:

$$2.34999 \ zeiten 10^5 $$

Andere Beispiele:

\begin{align}21 & \to 2.1 \times 10^1 \\16600.01 & \ bis 1.660001 \mal 10^4 \\455 & \ zu 4.55 \times 10^2\end{align}

Kleine Zahlen können auf die gleiche Weise in Exponentialnotation umgewandelt werden. Sie verschieben die Dezimalstelle einfach nach rechts, bis nur noch eine Ziffer ungleich Null vor dem Dezimalpunkt steht. Der Exponent entspricht dann der Anzahl der Ziffern, die Sie auf dem Weg passieren mussten.

Beispiel 2

$$ 0.000556 $$

Die erste Ziffer ungleich Null ist 5, also wird die Zahl 5,56 und wir mussten den Dezimalpunkt um 4 Ziffern übergeben, um zu dem Punkt zu gelangen, an dem sich nur eine Ziffer ungleich Null an der Vorderseite der Zahl befand, sodass der Exponent -4 . Die resultierende Exponentialzahl ist dann:

$$ 5.56 \ zeiten 10^{-4} $$

Andere Beispiele

\begin{align}0.0104 & \to 1.04 \times 10^{-2} \\0.0000099800 & \ bis 9.9800 \mal 10^{-6} \\0.1234 & \ zu 1.234 \times 10^{-1}\end{align}

Zusammenfassend ergibt das Verschieben des Dezimalpunkts nach links einen positiven Exponenten. Wenn Sie den Dezimalpunkt nach rechts verschieben, erhalten Sie einen negativen Exponenten.

Ein weiterer Grund, warum wir häufig wissenschaftliche Notation verwenden, ist die Notwendigkeit, die entsprechende Anzahl signifikanter Zahlen in unseren Berechnungen beizubehalten.

Signifikante Zahlen

Es gibt drei Regeln zur Bestimmung, wie viele signifikante Zahlen in einer Zahl enthalten sind:

  1. Ziffern ungleich Null sind immer signifikant.
  2. Alle Nullen zwischen zwei signifikanten Stellen sind signifikant.
  3. Eine abschließende Null oder nachfolgende Nullen im Dezimalteil sind NUR signifikant.

Beispiele

  • 2003 hat 4 signifikante Zahlen
  • 00.00300 hat 3 signifikante Zahlen
  • 00067000 hat 2 signifikante Zahlen
  • 00067000.0 hat 6 signifikante Zahlen

Genaue Zahlen

Genaue Zahlen, wie die Anzahl der Personen in einem Raum, haben unendlich viele signifikante Zahlen. Genaue Zahlen zählen, wie viele von etwas vorhanden sind, sie sind keine Messungen mit Instrumenten. Ein weiteres Beispiel hierfür sind definierte Zahlen, wie

$$ 1 \ text{ foot} = 12 \text{ inches} $$

Es gibt genau 12 Zoll in einem Fuß. Wenn eine Zahl also genau ist, hat dies KEINEN Einfluss auf die Genauigkeit einer Berechnung oder die Genauigkeit des Ausdrucks. Einige weitere Beispiele:

  • Es gibt 100 Jahre in einem Jahrhundert.
  • Interessanterweise ist die Lichtgeschwindigkeit nun eine definierte Größe. Per Definition beträgt der Wert 299.792.458 Meter pro Sekunde.

Um einen Wert in der richtigen Anzahl signifikanter Stellen darzustellen, müssen Sie den Wert häufig auf diese Anzahl von Stellen abrunden. Im Folgenden sind die Regeln zu befolgen, wenn Sie dies tun:

Die Anwendung von Regeln für signifikante Zahlen beim Abschließen von Berechnungen ist wichtig, und es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Regeln basierend auf der Art der durchgeführten Berechnung anzuwenden.

Signifikante Zahlen und Addition oder Subtraktion

Zusätzlich und Subtraktion Die Anzahl der signifikanten Zahlen, die gemeldet werden können, basiert auf der Anzahl der Ziffern in der am wenigsten genauen angegebenen Zahl. Konkret bedeutet dies, dass die Anzahl der Stellen nach der Dezimalstelle die Anzahl der Stellen bestimmt, die in der Antwort ausgedrückt werden können.

Beispiel

Signifikante Zahlen und Multiplikation oder Division

Bei Multiplikation und Division wird die Anzahl der signifikanten Zahlen einfach durch den Wert der niedrigsten Ziffern bestimmt. Wenn Sie also drei Zahlen multiplizieren oder dividieren: 2.1, 4.005 und 4.5654, würde der Wert 2.1 mit der geringsten Anzahl von Ziffern erfordern, dass die Antwort nur auf zwei signifikante Zahlen gegeben wird.