Egenværdier, egenvektorer og egenkomposition

Hvad skal du vide for at forstå dette emne?

• grundlæggende om lineær algebra

sektioner

• Egenhvad?
• Eigendecomposition
• et eksempel
• Hvorfor er eigendecomposition nyttig?
• matrice invers
• effekt af en matrice
• egenskaber for eigendekomposition
• Sådan beregnes eigendekomposition?
• effekt iteration

Eigenhvad?

Eigen betyder egen eller selv. I lineær algebra, egenværdi, egenvektor og egenendekomposition er udtryk, der er iboende relaterede. Eigendecomposition er metoden til at nedbryde en firkantet matrice i dens egenværdier og egenvektorer. For en matrice $a$, hvis$$\begynd{ligning}a\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}\label{ek:Avlv}\end{ligning}$$derefter $\mathbf{v}$ er en egenvektor af matricen $A$ og $\lambda$ er den tilsvarende egenværdi. Det vil sige, hvis matricen $a$ ganges med en vektor, og resultatet er en skaleret version af den samme vektor, så er det en egenvektor på $A$, og skaleringsfaktoren er dens egenværdi.

Eigendekomposition

så hvordan finder vi egenvektorerne i en matrice? $ :$$A\mathbf{v}-\lambda I \ mathbf{v} = 0$$$$\begynd{ligning}(a -\lambda I) \mathbf{v} = 0\label{ek:AlI}\end{ligning},$$hvor $I$ er identitetsmatricen. Værdien af $ \ lambda$ hvor$ \ EKF{ek:AlI} $ besidder er egenværdierne på $a$. Det viser sig, at denne ligning svarer til:$ $ \ begin{ligning}Det (a – \lambda i) = 0,\label{ek:detAlI}\end{ligning}$$hvor det() er determinanten for en matrice.

bevis for, at $det(a-\lambda I) \ ækvivalent (a – \lambda I) \mathbf{v}=0$

et eksempel

lad os se eigendekompositionen for matricen:$$a= \ left$ $ fra $\EKF{EKF: detAlI}$:$ $ det\left (\left \ right) = 0$$$$(1-\lambda)(3- \ lambda) = 0$$vi får direkte $\lambda_1 = 1$ og $\lambda_2 = 3$. Ovenstående udtryk kaldes normalt den karakteristiske polinomiale eller karakteristiske ligning af en matrice.
tilslutning af $ \ lambda_1$ til $ \ kvref{ek:Avlv}$, vi får:$$ \ left \ left= 1 \ left$$, hvorfra vi får $v_{11} = -2v_{12}$. Det vil sige enhver vektor $ \ mathbf{v_1} = $ hvor $v_{11} = – 2v_{12}$ er en egenvektor på $A$ med egenværdi 1.
tilslutning af $\lambda_2$ til $\Ekref{ek:Avlv}$, vi får:$$\left\left= 3 \left$$, hvorfra vi får $v_{21} = 0$ og $v_{22} \in \mathbb{R}$. Det vil sige enhver vektor $ \ mathbf{v_2} = $ hvor $v_{21} = 0$ er en egenvektor på $A$ med egenværdi 3.

Hvorfor er eigendecomposition nyttig?

med henvisning til vores tidligere eksempel kan vi tilslutte både egenvektorer og egenværdier i en enkelt matrice ligning:$$A\left = \left\left =\left\left =\left$$$V = \left$$$det er også sandt, at:$$AV = V\Lambda$$$$\begin{ligning}A = V \Lambda V^{-1}\label{ek: AVLV}\end{ligning}$$Eigendekomposition nedbryder en matrice$A$til en multiplikation af en matrice af egenvektorer$V $og en diagonal matrice af egenværdier$\Lambda$. Dette kan kun gøres, hvis en matrice er diagonaliserbar. Faktisk er definitionen af en diagonaliserbar matrice $a \in \mathbb{R}^{n \times n}$, at den kan eigendekomponeres i $n$ egenvektorer, så $V^{-1}AV = \Lambda$.

Matrice invers med eigendekomposition

fra $$$$A^{-1} = V\Lambda^{-1} V^{-1}$$den inverse af $\Lambda$ er bare den inverse af hvert diagonalt element (egenværdierne).

effekt af en matrice med egenkomposition

fra $\EKF{ek:AVLV}$:$$a^2 = V \Lambda V^{-1} V \Lambda V^{-1} = V \Lambda^{2} V^{-1}$$$$A^n = V \Lambda^N V^{-1}$$kraften på $\Lambda$ er bare den samme effekt, som effekt af hvert diagonalt element. Dette bliver meget enklere end multiplikationer af A.

egenskaber for eigendekomposition

• $det(a)=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i$ (determinanten af A er lig med produktet af dets egenværdier)
• $tr(a)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i$ (sporet af A er lig med summen af dets egenværdier)
• egenværdierne på $A^{-1}$ er $\lambda_i^{-1}$
• egenværdierne på $A^{n}$ er $ \ lambda_i^{n}$
• generelt er egenværdierne på $f(a)$ $f(\lambda_i)$
• egenvektorerne på $A^{-1}$ de samme som egenvektorerne på $a$.
• hvis $A$ er hermitisk (dens konjugerede transpon er lig med sig selv) og fuld rang (alle rækker eller kolonner er lineært uafhængige), så er egenvektorerne gensidigt ortogonale (prikproduktet mellem to egenvektorer er nul) og egenværdierne er reelle.
• $A$ er inverterbar, hvis alle dens egenværdier er forskellige fra nul og omvendt.
• hvis egenværdierne for matricen $A$ er forskellige (ikke gentaget), kan A eigendekomponeres.

Sådan beregnes eigendekomposition?

beregning af det karakteristiske polinomiale og derefter løsning af det med respekt for egenværdierne bliver upraktisk, når matricen øges. I praksis bruges iterative algoritmer til at eigendekomponere en matrice.

effekt iteration

effekt iteration er en iterativ metode til beregning af den højeste egenværdi og dens tilknyttede egenvektor. Kun den højeste værdi/vektor findes, så denne metode som begrænset anvendelse.

først starter vi med en vektor $b_0$, som kan være et uddannet gæt på den dominerende egenvektor eller en tilfældig vektor. Derefter gentages gennem følgende ligning:$$b_{k + 1} = \frac{A b_k}{\left\Vert A b_k \right\Vert}.$$Ved hver iteration er vektoren tilbage-multipliceret med matricen $A$ og normaliseret, konvergerende til den dominerende egenvektor. Denne metode fungerer kun, hvis:

• $en$ har en egenværdi større eller lig med alle andre.
• Vector $b_0$ har en ikke-nul komponent i retning af den dominerende egenvektor (dvs. deres dot-produkt er forskelligt fra nul)

brug af vores eksempelmatrice $A$ og indledende vektor:$$b_0 = \ left$$for det første trin:$$b_1 = \frac{\left\left}{\left\Vert\left\left\right\Vert}= \frac{\left}{5} = \left$$for de næste trin skal du genbruge den sidste $b$ og:$$b_2= \left, b_3= \left, b_4=\left, b_5= \left$$Og$$ \left\Vert A b_5 \right\Vert = 2.99$$ hvis du husker, den højeste egenværdi af $A$ er 3, og dens egenvektor er $\mathbf{V} = $, hvor $v_{21} = 0$ og $v_{22}$ kan have nogen værdi.

kr-algoritme

kr-algoritmen bruger kr-dekomponeringen iterativt til at lave eigendekompositionen. Det er vigtigt at huske på, at der ikke er nogen grund til at tro, at der ikke er nogen grund til at tro, at der ikke er nogen grund til at tro, at der ikke er nogen grund til at tro, at der ikke er nogen grund til at tro, at der ikke er nogen grund til at tro, at der ikke er nogen grund til at tro, at der ikke er nogen.