1.2 Los cuantificadores
Recuerdan que una fórmula es una declaración cuyo valor de verdad puede depender de los valores de algunas variables. Por ejemplo,
«$x\le 5 \ land x> 3$»
es verdadero para $x = 4 false y falso para x x = 6.. Compare esto con la instrucción
» Para cada $x,, x x\le 5 \ land x>3$,»
que es definitivamente falso y la declaración
» Existe un $x such tal que $x \ le 5 \ land x>3$,»
lo cual es definitivamente cierto. La frase «por cada $x$»(a veces «para todo $x$») es calleda el cuantificador universal y se denota por $\forall x$. La frase «existe unqu x such tal que» se llama un cuantificador existencial y se denota por $ \ exists x.. Una fórmula que contiene variables no es simple o falsa a menos que cada una de estas variables esté vinculada por un cuantificador. Si una variable no está encuadernada, la verdad de la fórmula depende del valor asignado a la variable del universo del discurso.
En la sección 1.1 tuvimos cuidado de definir los valores de verdad de las declaraciones compuestas con precisión. Hacemos lo mismo para$\forall x\,P(x) exists y exists\exists x\,P(x)., aunque los significados previstos de estos son claros.
El Cuantificador Universal
Una sentencia de $\forall x\,P(x)$ es verdadera si y sólo si $P(x)$ es verdadero no importa qué valor (desde el universo de discurso) se sustituye por el valor de $x$.
Ejemplo 1.2.1
$\bullet$ $\forall x (x^2\ge 0)$,es decir, «el cuadrado de cualquier número no negativo.»
$\bullet$ $\forall x\,\forall y (x+y=y+x)$, es decir, la ley conmutativa de la adición.
$\bullet$ $\forall x\,\forall y\,\forall z ((x+y)+z=x+(y+z))$,es decir, la ley asociativa de la adición.
square \ cuadrado$
La forma «todo».El cuantificador universal se encuentra con frecuencia en el contexto siguiente:$$\forall x (P(x)\implica Q(x)),$$que se puede leer, «Todo $x$ satisfacer $P(x)$ satisfacer$Q(x)$.»Los paréntesis son cruciales aquí; asegúrese de que entiende la diferencia entre el «todo» forma y $\forall x\,P(x)\implica\forall x\,Q(x)$ y $(\forall x\,P(x))\implica Q(x)$.
Esta última fórmula también podría escribirse como $\forall x\, P(x)\impliesQ (x)$, es decir que el cuantificador universal tiene mayor precedencia que el condicional; para evitar malentendidos,es mejor incluir los paréntesis. El significado de esta fórmula puede no estar claro al principio. La $x$ en $P(x)$ es obligado por el cuantificador universal, pero la $x$ en $Q(x)$ es no. La fórmula$(\forall x\,P(x))\implica Q(x)$ tiene el mismo significado como $(\forallx\,P(x))\implica Q(y)$, y su verdad depende del valor assignedto la variable $P(\cdot)$.
Ejemplo 1.2.2
$\bullet$ $\forall x$ ($x$ es un cuadrado $\implica$ $x$ es un rectángulo),es decir, «todos los cuadrados son rectángulos.»
$\bullet$ $\forall x$ ($x$ vidas en Walla Walla $\implica$ $x$ vive en Washington), es decir, «cada persona que vive en Walla Walla vive en Washington.»
\ \ cuadrado$
Esta construcción a veces se usa para expresar una oración matemática de la forma «si esto, entonces aquello» con un cuantificador «entendido».
Ejemplo 1.2.3
$\bullet$ Si decimos, «si $x$ es negativo, por lo que es su cubo,» weusually significa «cada negativo de $x$ tiene un negativo cubo.»Este shouldbe escrito simbólicamente como$\forall x ((x
$\bullet$ «Si dos números tienen la misma plaza, entonces tienen el mismo valor absoluto» debe ser escrito como$\forall x\,\forall y ((x^2=y^2)\implica(\vert x\vert = \vert y\vert))$.
$\bullet$ «Si $x=y$, entonces $x+z=y+z$» debe ser escrito como $\forall x\,\forally\,\forall z ((x=y)\implica (x+z=y+z))$.
$\square$
Si $S$ es un conjunto, la frase «cada $x$ en $S$ satisface $P(x)$» iswritten formalmente como$$\forall x ((x\in S)\implica P(x))$$ Para mayor claridad y brevedad, este suele ser escrito $\forall x\,{\en}\S\(P(x))$. Para entender y manipular la formula $\forallx\,{\en}\S\ (P(x))$ correctamente, se necesita a veces»unabbreviate», de la reescritura como $\forall x ((x\in S)\impliesP(x))$.
Ejemplo 1.2.4
$\bullet$ $\forall x\in (\sqrt x\ge x)$stands para $\forall x\in \implica \sqrt x\ge x).$
$\bullet$ $\forall x
$\square$
El Cuantificador Existencial
Una sentencia de $\exists x\,P(x)$ es verdadera si y sólo si no es en leastone valor de $x$ (desde el universo de discurso) que hace que $P(x)$ true.
Ejemplo 1.2.5
$\bullet$ $\exists x (x \ge x^2)$es cierto ya que $x=0$ es una solución. Hay muchos otros.
$\bullet exists\exists x\,\exists y (x^2+y^2=2xy) is es verdadera ya que$ x=y=1 is es una de muchas soluciones.
square \ cuadrado$
La forma de «algunos». El existentialquantifier se encuentra con frecuencia en el contexto siguiente: $$\exists x\(P(x)\la tierra Q(x)),$$ que se puede leer, «Unos $x$ satisfacer $P(x)$ alsosatisfies $Q(x)$.»
Ejemplo 1.2.6
$\bullet$ $\exists x\, \hbox{($x$ es un profesor de $\de la tierra$ $x$ es un republicano)}$, es decir, «un profesor es un republicano.»
$\bullet$ $\exists x\, \hbox{($x$ es un número primo $\de la tierra$ $x$ es incluso)}$, es decir,»algunos de los números primos es aún.»
$\square$
al principio puede parecer que «Algunos de los que $x$ satisfacer $P(x)$satisface $Q(x)$» debe ser traducido como$$\exists x (P(x)\implica Q(x)),$$como el cuantificador universal. Para ver por qué esto no funciona,supongamos que $P(x)=\hbox{«$x$ es una manzana»}$ y $Q(x)=\hbox{«$x$ es anorange.»}} La oración «algunas manzanas son naranjas» es sin duda falsa, pero exists\existe x (P(x)\implica Q (x)) is es verdadera. Para ver esto, supongamos que $x_0 is es una naranja particular. Entonces$P (x_0) \ implica Q (x_0) evaluates evalúa a \\hbox{F} \implica \ hbox{T}$, que es T, y el cuantificador existencial queda satisfecho.
Usamos abreviaturas de la forma «algunos» muy parecidas a las de la forma» todos».
Ejemplo 1.2.7
$\bullet$ $\exists x
$\bullet$ $ \exists x\in (2x^2+x =1)$ de stands para $ \exists x ((x\in )\de la tierra (2x^2+x=1))$$\square$
Si $\forall$ corresponde a «todos» y $\exists$ corresponde a «algunos»¿necesitamos una tercera cuantificador que corresponden a «ninguno»? Como se muestra a continuación, esto no es necesario:
Ejemplo 1.2.8
$\bullet$ «No demócratas republicanos,» puede ser escrito $\forall x$ ($x$ es un demócrata $\implica$ $x$ no es un republicano).
$\bullet$ «No triángulos son rectángulos,» puede ser escrito $\forall x$ ($x$ es un triángulo $\implica$ $x$ no es un rectángulo).
$\square$
En general, la declaración «no $x$ satisfacer $P(x)$ satisface $Q(x)$» puede ser escrito $$\forall x (P(x)\implica \lnot Q(x)).$ $(Puede preguntarse por qué no usamos $ \lnot \exists x\, (P(x)\land Q (x))$. De hecho, podríamos-es equivalente a \ \ forall x(P (x)\implica \lnot Q (x))$.)
Ejercicios 1.2
En estos problemas, supongamos que el universo del discurso es números reales.
Ex 1.2.1 Exprese las siguientes fórmulas con cuantificadores:
a) Cualquier número elevado a la cuarta potencia no es negativo.
b) Un número elevado a la tercera potencia es negativo.
c) El seno de un ángulo está siempre entre $+1 1 y $-1..
d) La secante de un ángulo nunca está estrictamente entre $+1 1 y1 -1..
Ex 1.2.2 Supongamos que $X are e are Y are son conjuntos. Exprese las siguientes fórmulas como cuantificadores.
a) Cada elemento de $X$ es un elemento de $Y$.
b) Algún elemento de X X is es un elemento de$ Y..
c) Algún elemento de X X is no es un elemento de$ Y..
d) Ningún elemento de X X is es un elemento de$ Y..
Ex 1.2.3 Recordar (de cálculo) que una función $f$ es creciente si$$ \forall un \forall b (a
a) $f$ es decreciente.
b) f f is es constante.
c) f f has tiene un cero.
Ex 1.2.4 Expresan simbólicamente las siguientes leyes:
a) la ley conmutativa de la multiplicación
b) la ley asociativa de la multiplicación
c) la ley distributiva
Ex 1.2.5 ¿Son verdaderas o falsas las siguientes frases?
a) $\forall x \forall y (x
b) $\forall x \forall y \forall z\ne 0 (xz=yz\implica x=y)$
c) $\exists x
d) $\exists x \existe y \existe z (x^2+y^2+z^2=2xy-y 2+2z)$
Ex 1.2.6 Supongamos que $P(x)$ y $Q(y)$ son fórmulas.
a) Es de $\forall x \forall y (P(x)\implica Q(y))$, equivalentes a $\forall x(P(x)) \implica \forall y(Q(y))$?
b) Es equivalent\exists x \exists y (P(x)\land Q(y)) equivalent equivalente a? \exists x(P(x)) \land \exists y(Q(y))??