Cálculo
En este tema, estudiaremos cómo integrar ciertas combinaciones que involucran productos y potencias de funciones trigonométricas.
Consideramos \(8\) casos.
Para evaluar integrales de productos de seno y coseno con diferentes argumentos, aplicamos las identidades
Integrales de la forma \({\large \ int \ normalsize} {{\sin^m}x\, {\cos^n} xdx}\)
Asumimos aquí que las potencias \(m\) y \(n\) son enteros no negativos.
Para encontrar una integral de este formulario, utilice las siguientes sustituciones:
Las integrales de tipo \(\int {{{\sin} ^n} xdx} \) y \(\int {{{\cos} ^n} xdx} \) se pueden evaluar mediante fórmulas de reducción
\
\
Integrales de la forma \({\large \ int \ normalsize} {{\tan^n} xdx} \)
La potencia del integrando se puede reducir utilizando la identidad trigonométrica \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2} x\) y la fórmula de reducción
\
Integrales de la forma \({\large \ int \ normalsize} {{{\cot} ^n} xdx} \)
La potencia del integrando se puede reducir utilizando la identidad trigonométrica \(1 + {\cot ^n} x = {\csc ^n} x\) y fórmula de reducción
\
Integrales de la forma \({\large \ int \ normalsize} {{\sec^n} xdx} \)
Este tipo de integrales se puede simplificar con la ayuda de la fórmula de reducción:
\
Integrales de la forma \({\large \ int \ normalsize} {{\csc^n} xdx} \)
De manera similar a los ejemplos anteriores, este tipo de integrales se pueden simplificar mediante la fórmula
\
Integrales de la forma \({\large \ int \ normalsize} {{\tan^m}x\, {\sec^n} xdx} \)
Integrales de la forma \({\large \ int \ normalsize} {{\cot^m}x\, {\csc^n}xdx} \)
Problemas resueltos
Haga clic o toque en un problema para ver la solución.
Ejemplo 1.
Calcular la integral \({\large \ int \ normalsize} {{\sin^3}xdx}.\)
Solución.
Let \(u = \ cos x,\) \(du = -\sin xdx.\ ) Luego
Ejemplo 2.
Evalúe la integral \({\large \ int \ normalsize} {{\cos^5} xdx}.\)
Solución.
Haciendo la sustitución \(u = \ sin x,\) \(du = \cos xdx\) y usando la identidad \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x,\) obtenemos
Ejemplo 3.
Encuentra la integral \({\large \ int \ normalsize} {{\sin^6}xdx}.\)
Solución.
el Uso de identidades \({\sin ^2}x = {\large\frac{{1 – \cos 2x}}{2}\normalsize}\) y \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\) podemos escribir:
Calcular las integrales en la última expresión.
\
Para encontrar la integral \({\large \ int \ normalsize} {{\cos^3}2xdx},\) hacemos la sustitución \(u = \sin 2x,\) \(du=\) \ (2\cos 2xdx.\ ) Entonces
Por lo tanto, la integral inicial es
Ejemplo 4.
Encuentra la integral \(\int {{{\sin} ^2} x\, {{{\cos }^3} x} dx}.\)
Solución.
El poder del coseno es impar, así que hacemos la sustitución
\
Reescribimos la integral en términos de \(\sin x\) para obtener:
Ejemplo 5.
Calcular la integral \({\large \ int \ normalsize} {{\sin} ^2} x\, {{\cos }^4} xdx}.\)
Solución.
podemos escribir:
\
Podemos convertir el integrando el uso de las identidades
\
Esto produce
Ejemplo 6.
Evalúe la integral \(\int {{{\sin} ^3} x\, {{\cos }^4} xdx}.\)
Solución.
Como el poder de seno es impar, usamos la sustitución
\
La integral se escribe como
\
Por la identidad Pitagórica,
\
por lo tanto
Ejemplo 7.
Evalúe la integral \(\int {{{\sin} ^3} x\, {{\cos }^5} xdx}.\)
Solución.
Vemos que ambas potencias son impares, por lo que podemos sustituir \(u = \sin x\) o \(u = \cos x.\ ) Eligiendo el exponente menor, tenemos
\
La integral toma la forma
\
Usando la identidad pitagórica,
\
podemos escribir
Ejemplo 8.
Evalúe la integral \(\int {{{\sin} ^3} x\, {{\cos }^3} xdx}.\)
Solución.
\
Por la identidad Pitagórica,
\
así obtenemos