Cálculo II – Más información sobre Secuencias
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Sección 4-2 : Más sobre Secuencias
En la sección anterior presentamos el concepto de secuencia y hablamos sobre los límites de las secuencias y la idea de convergencia y divergencia para una secuencia. En esta sección queremos echar un vistazo rápido a algunas ideas que involucran secuencias.
Comencemos con terminología y definiciones.
Dada cualquier secuencia \(\left \ { {{a_n}} \ right\}\) tenemos lo siguiente.
- Llamamos a la secuencia creciente if \ ({a_n} < {a_{n + 1}}\) para cada \(n\).
- Llamamos a la secuencia decreciente if \ ({a_n} > {a_{n + 1}}\) para cada \(n\).
- Si \(\left \ { {{a_n}} \ right\}\) es una secuencia creciente o \(\left \{{{a_n}}\ right\}\) es una secuencia decreciente, la llamamos monótona.
- Si existe un número \(m\) tal que \(m \le {a_n}\) para cada \(n\) decimos que la secuencia está limitada a continuación. El número \(m\) a veces se llama un límite inferior para la secuencia.
- Si existe un número \(M\) tal que \({a_n} \le M\) para cada \(n\) decimos que la secuencia está limitada arriba. El número \(M\) a veces se denomina límite superior de la secuencia.
- Si la secuencia está acotada abajo y acotada arriba, llamamos a la secuencia acotada.
tenga en cuenta que para que una secuencia de aumento o disminución se debe aumentar/disminuir para cada \(n\). En otras palabras, ¡una secuencia que aumenta por tres términos y luego disminuye por el resto de los términos NO es una secuencia decreciente! También tenga en cuenta que una secuencia monótona siempre debe aumentar o siempre debe disminuir.
Antes de continuar, debemos hacer un punto rápido sobre los límites de una secuencia que está limitada por encima y/o por debajo. Haremos el punto sobre los límites inferiores, pero podríamos hacerlo con la misma facilidad sobre los límites superiores.
Una secuencia está limitada a continuación si podemos encontrar cualquier número \(m\) tal que \(m \le {a_n}\) para cada \(n\). Sin embargo, tenga en cuenta que si encontramos un número \(m\) para usar para un límite inferior, cualquier número menor que \(m\) también será un límite inferior. Además, el hecho de que encontremos un límite inferior no significa que no haya un límite inferior «mejor» para la secuencia que el que encontramos. En otras palabras, hay un número infinito de límites inferiores para una secuencia que está limitada por debajo, algunos serán mejores que otros. En mi clase todo lo que busco será un límite inferior. No necesito necesariamente el mejor límite inferior, solo un número que será un límite inferior para la secuencia.
echemos un vistazo a un par de ejemplos.
- \(\left\{ { – {n^2}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \)
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Esta secuencia es una disminución de la secuencia (y por lo tanto monótono) porque,
\
para todos \(n\).
Además, dado que los términos de secuencia serán cero o negativos, esta secuencia está limitada por encima. Podemos usar cualquier número positivo o cero como límite, \(M\), sin embargo, es estándar elegir el límite más pequeño posible si podemos y es un buen número. Por lo tanto, elegiremos \(M = 0\) ya que,
\
Esta secuencia no está limitada por debajo, sin embargo, ya que siempre podemos llegar por debajo de cualquier límite potencial tomando \(n\) lo suficientemente grande. Por lo tanto, mientras la secuencia está acotada por encima, no está acotada.
Como nota al margen, también podemos observar que esta secuencia diverge (a \ (- \infty \) si queremos ser específicos).
b \(\left \ { {{{\left ( {- 1} \ right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty\) Mostrar Solución
Los términos de secuencia en esta secuencia alternan entre 1 y -1, por lo que la secuencia no es una secuencia creciente ni una secuencia decreciente. Dado que la secuencia no es una secuencia creciente ni decreciente, no es una secuencia monótona.
La secuencia está limitada, sin embargo, ya que está limitada por encima por 1 y limitada por debajo por -1.
De nuevo, podemos notar que esta secuencia también es divergente.
c \(\left \{{\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}}\right\}_{n = 5}^ \ infty\) Mostrar Solución
Esta secuencia es una secuencia decreciente (y por lo tanto monótona) ya que,
\
Los términos de esta secuencia son todos positivos y, por lo tanto, están limitados por cero. Además, dado que la secuencia es una secuencia decreciente, el primer término de secuencia será el más grande y, por lo tanto, podemos ver que la secuencia también estará limitada por \(\frac{2}{{25}}\). Por lo tanto, esta secuencia está limitada.
También podemos tomar un límite rápido y observar que esta secuencia converge y su límite es cero.
Ahora, trabajemos un par de ejemplos más que están diseñados para asegurarnos de que no nos acostumbremos demasiado a confiar en nuestra intuición con estos problemas. Como señalamos en la sección anterior, nuestra intuición a menudo puede llevarnos por mal camino con algunos de los conceptos que veremos en este capítulo.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{n}{{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
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vamos a empezar con la parte delimitada de este ejemplo, primero y, a continuación, volver y lidiar con el aumento/disminución de la pregunta, ya que es donde los estudiantes suelen cometer errores con este tipo de secuencia.
Primero, \(n\) es positivo, por lo que los términos de secuencia son todos positivos. Por lo tanto, la secuencia está limitada por cero. Del mismo modo, cada término de secuencia es el cociente de un número dividido por un número mayor y, por lo tanto, se garantiza que sea menor que uno. La secuencia está entonces limitada por arriba por uno. Por lo tanto, esta secuencia está limitada.
Ahora pensemos en la pregunta monótona. Primero, los estudiantes a menudo cometerán el error de asumir que debido a que el denominador es más grande, el cociente debe estar disminuyendo. Este no será siempre el caso y en este caso estaríamos equivocados. Esta secuencia está aumentando como veremos.
Para determinar la naturaleza creciente / decreciente de esta secuencia necesitaremos recurrir a técnicas de Cálculo I. Primero considere la siguiente función y su derivada.
\
Podemos ver que la primera derivada es siempre positiva, por lo que a partir del Cálculo I sabemos que la función debe ser una función creciente. Entonces, ¿cómo nos ayuda esto? Observe que,
\
Por lo tanto, debido a que \(n < n + 1\) y \(f\left( x \right)\) está aumentando, también podemos decir que,
\
En otras palabras, la secuencia debe estar aumentando.
Tenga en cuenta que ahora que sabemos que la secuencia es una secuencia creciente, podemos obtener un mejor límite inferior para la secuencia. Dado que la secuencia está aumentando, el primer término de la secuencia debe ser el término más pequeño y, por lo tanto, dado que comenzamos en \(n = 1\), también podríamos usar un límite inferior de \(\frac{1}{2}\) para esta secuencia. Es importante recordar que cualquier número que sea siempre menor o igual a todos los términos de secuencia puede ser un límite inferior. Sin embargo, algunos son mejores que otros.
Un límite rápido también nos dirá que esta secuencia converge con un límite de 1.
Antes de pasar a la siguiente parte, hay una pregunta natural que muchos estudiantes tendrán en este punto. ¿Por qué usamos el Cálculo para determinar la naturaleza creciente/decreciente de la secuencia cuando podríamos simplemente haber conectado un par de \(n\) y haber determinado rápidamente lo mismo?
La respuesta a esta pregunta es la siguiente parte de este ejemplo!
b \(\left \ { {\displaystyle \frac {{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Mostrar Solución
Esta es una secuencia de aspecto desordenado, pero tiene que ser para hacer el punto de esta parte.
En primer lugar, observe que, al igual que con la parte anterior, los términos de secuencia son todos positivos y todos serán menos de uno (ya que se garantiza que el numerador sea menor que el denominador) y, por lo tanto, la secuencia está limitada.
Ahora, pasemos a la pregunta creciente/decreciente. Al igual que con el último problema, muchos estudiantes mirarán los exponentes en el numerador y denominador y determinarán en función de eso que los términos de secuencia deben disminuir.
Esto, sin embargo, no es una secuencia decreciente. Echemos un vistazo a los primeros términos para ver esto.
\
Los primeros 10 términos de esta secuencia están en aumento y, por lo tanto, es evidente que la secuencia no puede ser una secuencia decreciente. Recuerde que una secuencia solo puede ser decreciente si TODOS los términos son decrecientes.
Ahora, no podemos cometer otro error común y asumir que debido a que los primeros términos aumentan, toda la secuencia también debe aumentar. Si lo hiciéramos, también nos equivocaríamos, ya que tampoco se trata de una secuencia creciente.
Esta secuencia no disminuye ni aumenta. La única manera segura de ver esto es hacer el Cálculo que me acerco a las funciones de aumento/disminución.
En este caso necesitaremos la siguiente función y su derivada.
\
Esta función tendrá las siguientes tres puntos críticos,
\{{30000}} \aprox 13.1607,\hspace{0.25, en}\,\,\,\,x = – \sqrt{{30000}} \approx – 13.1607\]
¿por Qué los puntos críticos? Recuerde que estos son los únicos lugares donde la derivada puede cambiar de signo! Nuestra secuencia comienza en \(n = 0\), por lo que podemos ignorar la tercera, ya que se encuentra fuera de los valores de \(n\) que estamos considerando. Al conectar algunos valores de prueba de \(x\), podemos determinar rápidamente que la derivada es positiva para \(0 < x < \sqrt{{30000}} \approx 13.16\) y, por lo tanto, la función está aumentando en este rango. Del mismo modo, podemos ver que la derivada es negativa para \(x > \sqrt{{30000}} \approx 13.16\) y, por lo tanto, la función disminuirá en este rango.
Por lo tanto, nuestra secuencia aumentará para \(0 \le n \le 13\) y disminuirá para \(n \ge 13\). Por lo tanto, la función no es monótona.
Finalmente, tenga en cuenta que esta secuencia también convergerá y tiene un límite de cero.
Por lo tanto, como se ha demostrado en el último ejemplo, debemos tener cuidado al hacer suposiciones sobre las secuencias. Nuestra intuición a menudo no será suficiente para obtener la respuesta correcta y NUNCA podemos hacer suposiciones sobre una secuencia basada en el valor de los primeros términos. Como se ha demostrado en la última parte, hay secuencias que aumentarán o disminuirán durante unos pocos términos y luego cambiarán de dirección después de eso.
Tenga en cuenta también que hemos dicho «primeros términos» aquí, pero es completamente posible que una secuencia disminuya para los primeros 10.000 términos y luego comience a aumentar para los términos restantes. En otras palabras, no hay un valor «mágico» de \(n\) para el que todo lo que tenemos que hacer es verificar hasta ese punto y luego sabremos lo que hará toda la secuencia.
La única vez que podremos evitar el uso de técnicas de Cálculo I para determinar la naturaleza creciente / decreciente de una secuencia es en secuencias como la parte (c) del Ejemplo 1. En este caso, aumentar \(n\) solo cambió (de hecho aumentó) el denominador y, por lo tanto, pudimos determinar el comportamiento de la secuencia en función de eso.
En el ejemplo 2, sin embargo, aumentar \(n\) aumentó tanto el denominador como el numerador. En casos como este, no hay manera de determinar qué aumento «ganará» y causará que los términos de secuencia aumenten o disminuyan, por lo que necesitamos recurrir a técnicas de Cálculo I para responder la pregunta.
Cerraremos esta sección con un bonito teorema que usaremos en algunas de las pruebas más adelante en este capítulo.
Teorema
Si \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) es acotada y monótona, entonces \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) es convergente.
tenga cuidado de no abusar de este teorema. No dice que si una secuencia no está limitada y/o no es monótona, es divergente. El ejemplo 2b es un buen ejemplo de ello. La secuencia en ese ejemplo no era monótona, pero converge.
Tenga en cuenta también que podemos hacer varias variantes de este teorema. Si \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) es acotado por arriba y el aumento de la entonces converge y del mismo modo, si \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) es acotada abajo y disminuyendo luego converge.