Descomposición de Cholesky con R Ejemplo

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método de descomposición de una matriz positiva definida. Una matriz definida positiva se define como una matriz simétrica donde para todos los vectores posibles \(x\), \(x’Ax > 0\). La descomposición de Cholesky y otros métodos de descomposición son importantes, ya que a menudo no es factible realizar cálculos de matriz explícitamente.

La descomposición de Colesky, también conocida como factorización de Colesky, es un método de descomposición de una matriz de definición positiva. Una matriz definida positiva se define como una matriz simétrica donde para todos los vectores posibles \(x\), \(x’Ax > 0\). La descomposición de Colesky y otros métodos de descomposición son importantes, ya que a menudo no es factible realizar cálculos de matrices de forma explícita. Algunas aplicaciones de Choleskydecomposition incluyen sistemas de resolución de ecuaciones lineales, simulación de Monte Carlo y filtros Kalman.

La descomposición de Cholesky factoriza una matriz positiva definida \(A\) en:

A A = LL ^ T

Cómo Descomponer una matriz con Descomposición Cholesky

Hay muchos métodos para calcular la descomposición de una matriz con el enfoque Cholesky. Este post tiene un enfoque similar a esta implementación.

Los pasos para factorizar la matriz son los siguientes:

  1. Calcule \(L_1 = \sqrt{a_{11}}\)

  2. Para \(k = 2, \puntos, n\):

  3. Encontrar \(L_{k-1} l_k = a_k\) de \(l_k\)

  4. \(l_{kk} = \sqrt{a_{kk} – l_k^T l_k}\)
  5. \(L_k =
    \begin{bmatrix} L_{k-1} & 0 \\ l_k^T & l_{kk}\end{bmatrix}

    \)

Un Ejemplo de la Descomposición de Cholesky

Considere la siguiente matriz \(A\).

$ $ A = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{bmatrix}

La matriz \ (A\) anterior se toma del Ejercicio 2.16 en el libro Métodos de Análisis de cultivos de Alvin Rencher.

Comience buscando \(L_1\).

$$ L_1 = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{3} = 1.732051 $$

a continuación nos encontramos con \(l_2\)

$$ l_2 = \frac{a_{21}}{L_1} = \frac{4}{\sqrt{3}} = 2.309401 $$

Entonces \(l_{22}\) puede ser calculada.

$$ l_{22} = \sqrt{a_{22} – l_2^T l_2} = \sqrt{8 – 2.309401^2} = 1.632993 $$

ahora Tenemos la \(L_2\) de la matriz:

$$L_2 = \begin{bmatrix} L_1 & 0 \\ l_2^T & l_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\end {bmatrix}

Dado que la matriz es \(3 \por 3\), solo requerimos una iteración más.

Con \(L_2\) se calcula, \(l_3\) se puede encontrar en:

$$ l_3 = \frac{a_3}{L_2} = a_3 L_2^{-1} = \begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 3 \\ 6\end{bmatrix}$$
$$l_3 = \begin{bmatrix} 1.7320508 \\ 1.224745 \end{bmatrix}$$

\(l_{33}\) a continuación, se encuentran:

$$ l_{33} = \sqrt{a_{33} – l_3^T l_3} = \sqrt{9 – \begin{bmatrix}1.7320508 & 1.224745\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1.7320508 \\ 1.224745\end{bmatrix}} = 2.12132 $$

lo Que nos da la \(L_3\) de la matriz:

$$L_3 = \begin{bmatrix} 1.7320508 & 0 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 & 0 \\ 1.7320508 & 1.224745 & 2.12132\end{bmatrix}$$

La \(L_3\) la matriz puede ser tomado como la solución. La transposición de la composición cambia la matriz en una matriz triangular superior.

Descomposición de Cholesky en R

La función chol() realiza la descomposición de Cholesky en una matriz definida positiva. Definimos la matriz \(A\) de la siguiente manera.

A = as.matrix(data.frame(c(3,4,3),c(4,8,6),c(3,6,9)))colnames(A) <- NULLA
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

Luego factoriza la matriz con la función chol().

A.chol <- chol(A)A.chol
## ## 1.732051 2.309401 1.732051## 0.000000 1.632993 1.224745## 0.000000 0.000000 2.121320

La función chol() devuelve una matriz triangular superior. Transponer la matriz descompuesta produce una matriz triangular inferior como en nuestro resultado anterior.

t(A.chol)
## ## 1.732051 0.000000 0.00000## 2.309401 1.632993 0.00000## 1.732051 1.224745 2.12132

Nuestro resultado anterior coincide con la salida de la chol() función.

También podemos mostrar la identidad \(A = LL^T\) con el resultado.

t(A.chol) %*% A.chol
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

Resumen

La descomposición de Cholesky se utiliza con frecuencia cuando el cálculo directo de una matriz no es óptimo. El método se emplea en una variedad de aplicaciones, como el análisis multivariado, debido a su naturaleza y estabilidad relativamente eficientes.

(2011). Recuperado de http://www.seas.ucla.edu/~vandenbe/103 / lectures / chol.pdf

Algoritmo para la descomposición de Cholesky. Recuperado de http://www.math.sjsu.edu/~foster / m143m / cholesky.pdf

Cholesky decomposition (2016). En Wikipedia. Recuperado de https: / / en.wikipedia.org/wiki / Cholesky_decomposition

Rencher, A.C. (2002). Métodos de análisis multivariado. Nueva York: J. Wiley.

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