Lo que he Aprendido de Muchos Años de Enseñanza de Cálculo a Estudiantes de Primer Año

Lo que he Aprendido de Muchos Años de Enseñanza de Cálculo

a Estudiantes Universitarios de Primer Año

Conferencia AMTNJ

Mantener las Matemáticas en el buen Camino: Cerrar la Brecha

Entre las Matemáticas de la Escuela Secundaria y la Universidad

14 de enero de 2005

Brookdale Community College

Joseph G. Rosenstein (Rutgers-NewBrunswick)

¿Por qué tantos estudiantes de primer año tienen dificultades con el cálculo cuando parecen estar bien preparados?

La última vez que enseñé cálculo del primer semestre, el 41% de los 61 estudiantes de la clase terminaron con calificaciones de C o peores.

Aquí hay más datos. el 82% de los estudiantes de la clase tenían un semestre o más de cálculo en la escuela superior, y el 73% tenía un año o más de cálculo en la escuela secundaria. (el 35% incluso tuvo un año de cálculo de PA.) Según todos los informes, este es un grupo que está bien preparado para el cálculo universitario.

La mala noticia es que si juntamos los datos, podemos concluir que al menos el 23% de mis estudiantes habían tomado un curso de cálculo en la escuela secundaria, pero no habían logrado obtener mejores resultados que C en un curso de cálculo en una universidad.

¿Por qué hay tantos estudiantes que han tomado cursos de substantialmath en la escuela secundaria, pero no tienen éxito en cálculo?

En esta breve charla, discutiré tres tipos de temas –contenido, proceso y asuntos personales – todo en aproximadamente 15 minutos y luego abriré el debate.

En «contenido», el problema principal no es que los estudiantes no entiendan los conceptos de cálculo, es que no tienen facilidad con la aritmética y el álgebra.

Un estudiante observó una vez que un problema en particular involucraba lo que él llamó «álgebra intensa», con lo que quiso decir que había aprendido mucho de su conocimiento de álgebra para llevar a cabo los cálculos en un solo problema. Esto sucede, por ejemplo, cuando los estudiantes necesitan encontrar la derivada de la función f (x) = 1/(x+3) de la definición, es decir, como en la transparencia, necesitan encontrar el límite de un cociente de diferencia, ya que h va a cero. Piense en los pasos que deben seguir para solucionar este problema. Necesitan:

escribir una expresión correcta para f(x+h) dada la igualación de f (x);

combinar dos fracciones en el numerador en una sola fracción;

combinar una suma y diferencia de términos;

transforme una fracción que tiene una fracción en el numerador en una que no;

encuentre un factor común del numerador y denominador y cancélelo correctamente;

tome un límite y exprese el resultado en la forma apropiada.

No solo tienen que ser capaces de llevar a cabo cada uno de estos pasos individualmente, sino que también necesitan un sistema de monitoreo de alto nivel que vea el «panorama general» que está involucrado en encontrar el derivado y que les indique lo que necesitan hacer en cada paso.

Sin embargo, muchos de ellos siguen cometiendo errores que han sido persistentes desde las calificaciones medias, por ejemplo, cancelando incorrectamente infracciones de términos.

Una pregunta como esta se da en el examen intermedio y en el examen final, y aunque todos saben que esto es lo que se espera que puedan hacer, muchos de ellos no pueden completar la tarea correctamente.

Cuando hablamos de los estándares NCTM, a menudo actuamos como si los estándares de proceso hubieran reemplazado a los estándares de contenido, entendiendo que han reemplazado a las instalaciones. Ese no es el caso. Queremos centrarnos en razonar y resolver problemas, pero también queremos que nuestros estudiantes tengan la facilidad adecuada con las operaciones matemáticas.

¿Qué instalación es «apropiada»? Eso depende del estudiante. Aquellos que van a terminar tomando varios exámenes de cálculo en la universidad definitivamente están en desventaja si tienen dificultades con la aritmética y el álgebra.

Por otro lado, aquellos que es poco probable que continúen calculando no necesitarán álgebra intensa. Pero suponer que un estudiante en particular está en esa categoría puede terminar siendo una profecía autocumplida.

Una digresión sobre habilidades de álgebra. Muchas personas han criticado la prueba de recolocación de Rutgers porque no está alineada con los estándares, con nuestros esfuerzos de reforma, ya que se centra en las habilidades. Pero debo decirles que es una buena medida de la probabilidad de éxito en el precálculo y el cálculo, y lo ha sido en los últimos 20 años desde que lo introdujimos. Mide la instalación de los estudiantes con las habilidades previas, porque la instalación con los requisitos previos es esencial para el éxito en estos cursos.

Compartiré con ustedes mi experiencia personal. Hace unos años, una de mis hijas obtuvo un puntaje justo por debajo del límite de precálculo. Como tengo un poco de influencia, pude inscribirla en el recálculo, razonando que si tenía dificultades, tenía acceso a un buen tutor. Eso fue correcto also pero también fue un error-terminé haciendo muchas clases particulares. No estaba lista para el recálculo.

Ese es el final de la digresión.

Ahora se necesita una aclaración. Cuando decimos que la facilidad en álgebra es esencial para el éxito en el cálculo, no nos referimos solo a aprender reglas para manipulaciones algebraicas. Facilidad en álgebra también significa comprender las matemáticas que subyacen a estas reglas. Cuando los estudiantes cometen errores, a menudo son el resultado de un malentendido de las matemáticas, y todos necesitamos dedicar más tiempo a descubrir las ideas erróneas que llevaron a esos errores, y ayudar a los estudiantes a reemplazarlos con entendimientos matemáticos más precisos. Eso significa discutir errores en clase y con los estudiantes individualmente, y no solo marcarlos correctamente en sus tareas y exámenes.

La facilidad en álgebra también significa ser capaz de aprovechar la experiencia matemática de uno para descubrir un próximo paso apropiado en un problema, a eso me referí anteriormente como monitorear el progreso de uno knowing saber qué hacer a continuación.

Eso nos lleva a «problemas de proceso».

Todos tendemos a compartimentar lo que aprendemos, en parte porque nos encontramos con nueva información linealmente y tenemos que almacenarla en algún lugar. Pero es muy importante que el aprendizaje esté conectado. Cualquier cosa que podamos hacer como profesores para hacer conexiones entre temas, para enfocar a los estudiantes en el panorama general, es muy importante.

Es importante dar ejemplos y problemas con las tareas que vinculan conceptos diferentes, al igual que dar exámenes acumulativos regulares. De lo contrario, los estudiantes aprenden lo que necesitan saber para el examen de esta semana y luego lo olvidan.

En algunas escuelas, el éxito de los estudiantes se ve recompensado por la exención de los exámenes de mitad de período y final. Creo que esta práctica es un grave error: los estudiantes no tienen la oportunidad de reunir las diferentes piezas de conocimiento que han adquirido. Además, no los prepara para los exámenes acumulativos que son rutinarios en la universidad. En ese sentido, un informe publicado hace tres semanas señaló que tomar cálculo AP en la escuela secundaria no era un predictor de éxito en la universidad, aunque obtener buenos resultados en el examen AP sí lo era.

Necesitamos ayudar a nuestros estudiantes a obtener el panorama general. Una parte de esto implica la compartimentación y la integración del conocimiento, como hemos discutido. Pero también hay algunos otros aspectos.

Uno anima a los estudiantes a tener múltiples perspectivas. Por ejemplo, deben estar familiarizados con diferentes aspectos de la idea de una función – como ecuación,como regla, como gráfico, como tabla, como máquina de entrada y salida-y ser capaces de moverse fácilmente entre estas representaciones.

De manera similar, deben poder moverse de un lado a otro entre álgebra y geometría. Cuando discuten la solución de ecuaciones lineales simultáneas, deben reconocer que eso es lo mismo que preguntar dónde se cruzan dos rectas. Cuando se da una función cuadrática, deben ser capaces de visualizar la parábola que define, tal vez no todos los detalles,pero ciertamente deben ser conscientes de que define una parábola, y saber si se abre hacia arriba o hacia abajo. No solo deberían ser capaces de visualizar una parábola, sino que deberían hacerlo en la práctica. La ecuación y el gráfico deben ser dos vistas del mismo objeto.

Y cuando encuentre las soluciones de una ecuación cuadrática, deberían ser capaces de traducir eso con facilidad al gráfico de la función cuadrática, de modo que si las raíces de una función cuadrática son, por ejemplo, 3 +/- sqrt2, deberían ser capaces de imaginar dónde el gráfico de la función cruza el eje x.

En el primer día de clase, les doy a los estudiantes un pequeño trozo de papel-1/8 de una hoja de 8, 5×11 y les pido que encuentren la tangente del angulo cuyo seno es 3/5. Algunos de los estudiantes dibujan un triángulo; casi todos ellos obtienen la respuesta correcta. Algunos de los estudiantes no dibujan un triángulo; ninguno de ellos obtiene la respuesta correcta.

Dado que no les pido que pongan sus nombres en los trabajos, no puedo relacionar las soluciones a este problema con sus calificaciones en el curso, pero mi opinión es que habría un alto grado de correlación. Los estudiantes que pueden visualizar álgebra, que pueden pasar fácilmente de álgebra a geometría y viceversa, es probable que tengan éxito en el cálculo.

En la segunda clase, informo a los alumnos de los resultados de este experimento y reafirmo la importancia de la visualización. Los animo a que enciendan su interruptor de visualización para que dibujen en su mente una expresión geométrica que esté en su libro o en el tablero.

Señalo que una imagen puede contener mucha información. Por ejemplo, si pueden visualizar e interpretar los gráficos de las funciones seno, coseno y tangente, entonces solo necesitan recordar tres hechos: que sin 30=½, que tan 45 =1 y que en2x + cos2x =1 . Casi todo lo que necesitan saber sobre trigonometría se puede derivar de estos. En particular, no necesitan memorizar muchos y muchos hechos. Eso es lo que tendrán que hacer si no entienden las imágenes. Algunos encuentran esto difícil de creer, y persisten en tratar de recordar muchos hechos sobre las funciones trigonométricas. No es de extrañar que a veces sientan que sus cabezas están llenas.

Hay alrededor de una docena de imágenes que encapsulan gran parte del cálculo del primer semestre – si entiendes y puedes explicar lo que hay en esas imágenes, entonces lo harás muy bien en cálculo. También encuentran esto difícil de creer.

Otro problema que mencionaré brevemente es que los estudiantes necesitan tener una mejor idea de si una respuesta que generan es razonable. Un requisito previo para ello, por supuesto, es que se pregunten si sus respuestas son razonables. En realidad, si se hacen la pregunta, es probable que respondan adecuadamente. Así que el objetivo es que hagan esa pregunta, ¿es razonable esa respuesta?

Finalmente, los estudiantes necesitan tener el sentido de las matemáticas como lenguaje. Las matemáticas tienen palabras y símbolos y reglas sobre su uso. A menudo ignoramos la gramática de las matemáticas y permitimos que nuestros estudiantes hablen y escriban matemáticas incorrectamente, una práctica que no se permitiría en una clase de español. Así que terminan no usando padres cuando deberían y cometiendo todo tipo de errores como resultado. No usan el signo igual para separar expresiones iguales en sus oraciones matemáticas y, como resultado, las cantidades se desplazan de una expresión a otra. Y a menudo son incapaces de traducir sus respuestas a los problemas del lenguaje matemático al idioma inglés. Esta cuestión requiere más atención por parte de todos nosotros.

Y ahora llegamos a lo que llamé problemas personales. Haré cuatro observaciones. Una es que muchos estudiantes vienen a firstsemester calculus pensando que ya saben de cálculo. Eso puede ser cierto, pero solo es cierto para algunos de ellos. Sin embargo, esa es una suposición peligrosa, para aquellos que creen que esto no hará nada durante las primeras cuatro semanas del semestre and y luego descubren que es demasiado tarde para ponerse al día.

Por favor, advierta a sus estudiantes que a pesar de que puedan tener éxito en su curso, no tendrán éxito automáticamente en un curso con el mismo título en la universidad. Aunque ambos cursos cubren el mismo material, el curso universitario profundiza más.

Un segundo punto es que los estudiantes necesitan saber que tendrán que trabajar en la universidad. Algunos de ellos podrán sobrevivir sin demasiado trabajo, en cuyo caso deberían haber estado tomando un curso más difícil, pero la mayoría de ellos tendrán sus manos llenas con el curso que toman, ya sea cálculo o precálculo o álgebra de venecia, ya sea que obtengan o no una buena calificación en ese curso en la escuela secundaria.

He aprendido que el mejor predictor de una buena calificación inCalc 1 es obtener una buena calificación en el primer examen. Mira los datos en el gráfico. Muestra que el 86% de los estudiantes que obtuvieron un puntaje del 70% en el primer examen obtuvieron una calificación de C+ o mejor para el curso. Por otro lado, solo el 17% de los que obtuvieron menos del 70% en el primer examen obtuvieron una calificación de C+ o mejor para el curso. El trabajo consistente vale la pena. Los que empiezan bien y trabajan con constancia, lo hacen bien.

Estudiantes en mis clases de Cálculo 1

Otoño de 1999, Otoño de 2000, Otoño de 2001, Otoño 2002

# de estudiantes	70% o más en el primer examen	69 o menos en el primer examen	Total
Grado Final: C+ o superior	74	21	105
calificación Final: C o inferior	12	102	114
	86	123	219

86% de esas que obtuvo 70% o más en la primera prueba, se obtuvo una C+ o mejor en el curso;el 17% de los que obtuvieron un 69% o peor en el primer examen obtuvieron una C+ o mejor en el curso

Otra cosa que hago el primer día de clase es pedirle a cada estudiante que haga una evaluación realista de qué grado espera obtener en el curso, teniendo en cuenta todo tipo de cosas, y entregarlo en otro pequeño papel. ¡Todos los estudiantes, sin excepción, esperan obtener una B o mejor!

Informo esto a los estudiantes en la segunda clase y luego les muestro esta tabla. Les digo que no pueden empezar el semestre pensando que porque conocen las fórmulas para unos pocos derivados saben cálculo. Les digo que tienen que empezar el semestre trabajando en cálculo. Tal vez sea diferente. Les digo que haré todo lo que pueda para ayudar a cada uno a obtener la calificación que espera obtener, pero al final depende de ellos.

Ese es el tercer punto que quiero hacer: los estudiantes necesitan aprender para asumir la responsabilidad de su propia educación. En la escuela secundaria los ves todos los días y puedes persuadirlos para que tomen sus estudios en serio. Eso es genial. Pero cuando llegan a la universidad, están solos, y si aún no han aprendido a asumir la responsabilidad de su educación, tendrán un momento difícil.

No estoy seguro de cómo conseguir que asuman la responsabilidad, pero hay un experimento modesto que podrías intentar. Dígales que no recogerá asignaciones para los próximos dos semanas. Entonces hazles un examen del material. Algunos de ellos no harán las tareas y lo harán mal en elexamen. Tal vez su desempeño en ese examen les transmita que su no recolección de la tarea no debería haberse interpretado como su no necesidad de hacerlo.

Otro aspecto de asumir la responsabilidad de la propia educación es pedir ayuda y aprovechar las oportunidades que tienen a su disposición. Menos del 20% de los estudiantes vienen a verme, a pesar de que los animo regularmente a que hagan dos. Menos del 20% de mis estudiantes me envían sus preguntas por correo electrónico, aunque les digo que lo más probable es que obtengan una respuesta en unas pocas horas. Aunque un tercio de mis estudiantes terminarán con una D o F, pocos de ellos buscarán los diversos tipos de ayuda que están disponibles para ellos.

La mayoría de los estudiantes aún no han aprendido que está bien que busquen ayuda, no han aprendido que si tienen dificultades en un curso, deben buscar ayuda lo antes posible. Necesitan saber que esperar no es una buena estrategia. Tal vez el contárselo a ellos marque la diferencia.

Esto me lleva al final de mis observaciones. He hablado un poco sobre los problemas de contenido,los problemas de proceso y los problemas personales que interfieren con el éxito de los estudiantes en los cursos de precálculo y cálculo, y les he dado algunas sugerencias sobre cómo podrían ayudar a preparar a los estudiantes para superar los obstáculos a su éxito.

Muchas gracias por su atención, y ahora tendremos una discusión de estos temas.