Sistemas de control – Nyquist Plots

Las gráficas Nyquist son la continuación de las gráficas polares para encontrar la estabilidad de los sistemas de control de bucle cerrado variando ω de −∞ a ∞. Esto significa que las gráficas de Nyquist se utilizan para dibujar la respuesta de frecuencia completa de la función de transferencia de bucle abierto.

Criterio de estabilidad de Nyquist

El criterio de estabilidad de Nyquist funciona según el principio de argumento. Establece que si hay polos P y ceros Z están encerrados por la trayectoria cerrada del plano ‘s’, entonces el plano correspondiente G G(s)H(s) must debe rodear el origen times P − Z times veces. Por lo tanto, podemos escribir el número de circunvalaciones N como,

N N = P-Z$$

• Si la trayectoria cerrada del plano » s «cerrado contiene solo polos, la dirección del círculo en el plano $G(s)H(s) be será opuesta a la dirección de la trayectoria cerrada cerrada en el plano «s».

• Si la trayectoria cerrada del plano » s «cerrado contiene solo ceros, la dirección del círculo en el plano $G(s)H(s) be estará en la misma dirección que la de la trayectoria cerrada cerrada en el plano «s».

Apliquemos ahora el principio de argumentación a toda la mitad derecha del plano’ s ‘ seleccionándolo como un camino cerrado. Este trazado seleccionado se denomina contorno Nyquist.

Sabemos que el sistema de control de bucle cerrado es estable si todos los polos de la función de transferencia de bucle cerrado están en la mitad izquierda del plano ‘s’. Por lo tanto, los polos de la función de transferencia de bucle cerrado no son más que las raíces de la ecuación característica. A medida que aumenta el orden de la ecuación característica, es difícil encontrar las raíces. Por lo tanto, vamos a correlacionar estas raíces de la ecuación característica de la siguiente manera.

• Los polos de la ecuación característica son los mismos que los de los polos de la función de transferencia de bucle abierto.

• Los ceros de la ecuación característica son los mismos que los de los polos de la función de transferencia de bucle cerrado.

Sabemos que el sistema de control de bucle abierto es estable si no hay un polo de bucle abierto en la mitad derecha del plano ‘s’.

Es decir,$P=0 \Rightarrow N = – Z

Sabemos que el sistema de control de bucle cerrado es estable si no hay un polo de bucle cerrado en la mitad derecha del plano ‘s’.

es decir, criterion Z=0 \Rightarrow N=P

El criterio de estabilidad de Nyquist establece que el número de circunferencias alrededor del punto crítico (1+j0) debe ser igual a los polos de la ecuación característica, que no son más que los polos de la función de transferencia de bucle abierto en la mitad derecha del plano ‘s’. El cambio de origen a (1 + j0) da el plano de ecuación característico.

Reglas para dibujar parcelas de Nyquist

Siga estas reglas para trazar las parcelas de Nyquist.

• Localice los polos y ceros de la función de transferencia de bucle abierto G G(s) H (s) in en el plano ‘s’.

• Dibuja la gráfica polar variando \ \ omega from de cero a infinito. Si el polo o el cero están presentes en s = 0, entonces variando \ \ omega from de 0+ a infinito para dibujar la gráfica polar.

• Dibuje la imagen especular de la gráfica polar superior para valores de \ \ omega ranging que van de – ∞ a cero (0− si hay algún polo o cero presente en s=0).

• El número de semicírculos de radio infinito será igual al número de polos o ceros en origen. El semicírculo de radio infinito comenzará en el punto donde termina la imagen especular de la gráfica polar. Y este semicírculo de radio infinito terminará en el punto donde comienza la gráfica polar.

Después de dibujar la gráfica de Nyquist, podemos encontrar la estabilidad del sistema de control de bucle cerrado utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist. Si el punto crítico (-1+j0) se encuentra fuera del círculo, el sistema de control de bucle cerrado es absolutamente estable.

Análisis de estabilidad utilizando Gráficos Nyquist

A partir de los gráficos Nyquist, podemos identificar si el sistema de control es estable, marginalmente estable o inestable en función de los valores de estos parámetros.

• Frecuencia cruzada de ganancia y frecuencia cruzada de fase
• Margen de ganancia y margen de fase

Frecuencia cruzada de fase

La frecuencia a la que la gráfica de Nyquist cruza el eje real negativo (el ángulo de fase es 1800) se conoce como frecuencia cruzada de fase. Se denota por $\omega_{pc}$.

Frecuencia de cruce de ganancia

La frecuencia a la que la gráfica de Nyquist tiene la magnitud de uno se conoce como frecuencia de cruce de ganancia. Se denota por $\omega_{gc}$.

La estabilidad del sistema de control basada en la relación entre la frecuencia cruzada de fase y la frecuencia cruzada de ganancia se enumeran a continuación.

• Si la frecuencia de cruce de fase \\omega_{pc} is es mayor que la frecuencia de cruce de ganancia gain \ omega_{gc}., entonces el sistema de control es estable.

• Si la frecuencia de cruce de fase \\omega_{pc} is es igual a la frecuencia de cruce de ganancia gain \ omega_{gc}., entonces el sistema de control es marginalmente estable.

• Si la frecuencia cruzada de fase \\omega_{pc} is es menor que la frecuencia cruzada de ganancia gain \ omega_{gc}., entonces el sistema de control es inestable.

Margen de ganancia

El margen de ganancia GM GM is es igual al recíproco de la magnitud de la gráfica de Nyquist en la frecuencia de cruce de fase.

GM GM= \ frac {1} {M_{pc}}$$

Donde ,M M_ {pc} is es la magnitud en escala normal en la frecuencia de cruce de fase.

Margen de fase

El margen de fase PM PM is es igual a la suma de 1800 y el ángulo de fase en la frecuencia de cruce de ganancia.

PM PM=180^0+\phi_{gc}

Donde,$\phi_{gc} is es el ángulo de fase en la frecuencia de cruce de ganancia.

La estabilidad del sistema de control basada en la relación entre el margen de ganancia y el margen de fase se enumeran a continuación.

• Si el margen de ganancia GM GM is es mayor que uno y el margen de fase PM PM is es positivo, entonces el sistema de control es estable.

• Si el margen de ganancia GM GM is es igual a uno y el margen de fase PM PM is es cero grados, entonces el sistema de control es marginalmente estable.

• Si el margen de ganancia GM GM is es menor que uno y / o el margen de fase PM PM is es negativo, entonces el sistema de control es inestable.