Teorema de punto fijo

Teorema de punto fijo, cualquiera de los diversos teoremas en matemáticas que tratan de una transformación de los puntos de un conjunto en puntos del mismo conjunto donde se puede demostrar que al menos un punto permanece fijo. Por ejemplo, si cada número real es cuadrado, los números cero y uno permanecen fijos; mientras que la transformación por la que cada número se incrementa en uno no deja ningún número fijo. El primer ejemplo, la transformación que consiste en cuadrar cada número, cuando se aplica al intervalo abierto de números mayores que cero y menores que uno (0,1), tampoco tiene puntos fijos. Sin embargo , la situación cambia para el intervalo cerrado, con los puntos finales incluidos. Una transformación continua es aquella en la que los puntos vecinos se transforman en otros puntos vecinos. (Ver continuidad. El teorema de punto fijo de Brouwer establece que cualquier transformación continua de un disco cerrado (incluyendo el límite) en sí mismo deja al menos un punto fijo. El teorema también es cierto para transformaciones continuas de los puntos en un intervalo cerrado, en una bola cerrada, o en conjuntos abstractos de dimensiones superiores análogos a la bola.

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teoremas de punto Fijo son muy útiles para averiguar si una ecuación tiene una solución. Por ejemplo, en ecuaciones diferenciales, una transformación llamada operador diferencial transforma una función en otra. Encontrar una solución de una ecuación diferencial puede interpretarse como encontrar una función inalterada por una transformación relacionada. Al considerar estas funciones como puntos y definir una colección de funciones análogas a la colección de puntos anterior que comprende un disco, se pueden probar teoremas análogos al teorema de punto fijo de Brouwer para ecuaciones diferenciales. El teorema más famoso de este tipo es el teorema de Leray-Schauder, publicado en 1934 por el francés Jean Leray y el polaco Julius Schauder. Si este método produce o no una solución (es decir,si se puede encontrar o no un punto fijo) depende de la naturaleza exacta del operador diferencial y la colección de funciones de las que se busca una solución.