fast punkt sætning

fast punkt sætning, en hvilken som helst af forskellige sætninger i matematik, der beskæftiger sig med en transformation af punkterne i et sæt til punkter i det samme sæt, hvor det kan bevises, at mindst et punkt forbliver fast. For eksempel, hvis hvert reelt tal er kvadreret, forbliver tallene nul og et fast; hvorimod transformationen, hvorved hvert tal øges med et, ikke efterlader noget fast tal. Det første eksempel, transformationen bestående af kvadrering af hvert tal, når den anvendes på det åbne interval af tal større end nul og mindre end et (0,1), har heller ingen faste punkter. Situationen ændres dog for det lukkede interval , med endepunkterne inkluderet. En kontinuerlig transformation er en, hvor nabopunkter omdannes til andre nabopunkter. (Se kontinuitet.) Brouers sætning med fast punkt siger, at enhver kontinuerlig transformation af en lukket disk (inklusive grænsen) i sig selv efterlader mindst et punkt fast. Sætningen gælder også for kontinuerlige transformationer af punkterne i et lukket interval, i en lukket kugle eller i abstrakte højere dimensionelle sæt, der er analoge med bolden.

Læs mere om dette emne

topologi: Topologiens historie

Brouer og hans faste punkt sætning. Selvom udtrykket algebraisk topologi først blev brugt noget senere i 1936 af den russiskfødte…

fastpunktssætninger er meget nyttige til at finde ud af, om en ligning har en løsning. For eksempel i differentialligninger transformerer en transformation kaldet en differentialoperatør en funktion til en anden. At finde en løsning af en differentialligning kan derefter fortolkes som at finde en funktion uændret ved en relateret transformation. Ved at betragte disse funktioner som punkter og definere en samling af funktioner, der er analoge med ovenstående samling af punkter, der omfatter en disk, kan sætninger, der er analoge med Brouers faste punktsætning, bevises for differentialligninger. Den mest berømte sætning af denne type er Leray-Schauder-sætningen, udgivet i 1934 af franskmanden Jean Leray og Polen Julius Schauder. Hvorvidt denne metode giver en løsning (dvs.om der kan findes et fast punkt eller ej) afhænger af differentieringsoperatørens nøjagtige karakter og samlingen af funktioner, hvorfra der søges en løsning.