1.2 Kvantifioijat
muistuttavat, että kaava on lausunto, jonka totuusarvo voi riippua joidenkin muuttujien arvoista. Esimerkiksi
” $x\le 5 \land x> 3$”
on totta $ x= 4$ ja epätosi $ x= 6$. Vertaa tätä lauseeseen
” jokaista $x$, $x\le 5 \land x>3$,”
joka on ehdottomasti epätosi ja lausuma
” on olemassa $x$ sellainen, että $x\le 5 \land x>3$,”
se on ehdottomasti totta. Lause ”for every $x$” (Joskus ”for all $x$”) on calleda universal quantifier ja merkitään $\forall x$. Lause ”thereexists an $x$ such that”on nimeltään existentialquantifier ja on denotedby $\existes x$. Kaava, joka sisältää muuttujat ei ole yksinkertainen tai epätosi, ellei jokainen näistä muuttujista on sidottu kvantifier. Jos muuttuja ei ole sidottu, kaavan totuus riippuu diskurssin kaikkeudesta variationille annetusta arvosta.
kohdassa 1.1 tarkoitettiin yhdistettyjen väittämien totuusarvoja tarkasti. Teemme samoin$\forall x\, P (x)$ ja $\existes x\, P (x)$, vaikka näiden tarkoitus on selvä.
yleinen Kvantifioija
lause $\forall x\, P(x)$ on tosi, jos ja vain jos $p (x)$ on tosi nomatter mikä arvo (diskurssin universumista) korvataan arvolla $x$.
esimerkki 1.2.1
$\bullet$ $\forall x (x^2\ge 0)$,eli ”minkä tahansa luvun neliö ei ole negatiivinen.”
$\bullet$ $\forall x\,\forall y (x+y=y+x)$, eli yhteenlaskun kommutatiivinen laki.
$\bullet$ $\forall x\,\forall y\,\forall z ((x+y)+z=x+(y+z))$eli yhteenlaskun assosiatiivinen laki.
$\square$
”kaikki” – lomake.Universal quantifier esiintyy usein seuraavassa yhteydessä:$$\forall x(P(x)\merkitsee Q(x)),$$joka voidaan lukea, ”kaikki $x$ tyydyttävä $P(x)$ täyttävät myös$Q (x)$.”Sulkeet ovat tässä ratkaisevia; muista ymmärtää ero ”all” – muodon ja $\forall x\, P (x)\merkitsee\forall x\,Q(x)$ ja $(\forall x\,P(x))\merkitsee Q(x)$.
jälkimmäinen kaava voidaan kirjoittaa myös muodossa $\forall x\,P(x)\impliesQ(x)$, mikä tarkoittaa,että universaalilla kvantifioijalla on suurempi primääri kuin konditionaalilla; väärinkäsitysten välttämiseksi on parasta sisällyttää sulkeet. Tämän kaavan merkitys ei ole aluksi selvä. The$ x $in$ P(x) $sitoo theuniversal quantifier, mutta$ x $in$ Q(x) $ ei ole. Kaava$(\forall x\, P (x))\merkitsee Q(x)$ samaa kuin $(\forallx\,P(x))\merkitsee q(y)$, ja sen totuus riippuu muuttujalle annetusta arvosta $Q(\cdot)$.
esimerkki 1.2.2
$\bullet$ $ \forall x$ ($x$ on neliö $\merkitsee$ $x$ on suorakulmio), ts. ”kaikki neliöt ovat suorakulmioita.”
$\bullet$ $ \forall x$ ($x$ asuu Walla Walla $\tarkoittaa$ $x$ asuu Washingtonissa), eli ”jokainen Walla Wallassa asuva henkilö asuu Washingtonissa.”
$\square$
tätä konstruktiota käytetään joskus ilmaisemaan amathematical lause muodossa ” jos tämä, sitten että,” with an”understanded” quantifier.
esimerkki 1.2.3
$\bullet$ Jos sanomme, ”Jos $x$ on negatiivinen, niin on sen kuutio, ”meusually mean” jokainen negatiivinen $x$ on negatiivinen kuutio.”Tämä tulisi kirjoittaa symbolisesti$\forall x ((x
$\bullet$ ”Jos kahdella numerolla on sama neliö, niin niillä on sama itseisarvo” tulisi kirjoittaa$\forall x\,\forall y ((x^2=y^2)\merkitsee (\vert x\vert = \vert y\vert))$.
$\bullet$” Jos $x=y$, niin $x+z=y+z$ ” kirjoitetaan $\forall x\,\forally\,\forall z ((x=y)\merkitsee (x+z=y+z))$.
$\square$
jos $S$ on asetettu, lause ” jokainen $x$ in $S$ täyttää $P(x)$” kirjoitetaan muodollisesti$$\forall x ((x\in s)\merkitsee P(x))$$ selkeyden ja lyhyyden vuoksi, tämä kirjoitetaan yleensä $\forall x\,{\in}\,S\,(P(x))$. Ymmärtääksesi ja manipuloidaksesi kaavaa $\forallx\, {\in}\, S\, (P(x))$ oikein, sinun täytyy joskus”unabbreviate” se, kirjoittaa se uudelleen muodossa $\forall x ((x\in s)\impliesP(x))$.
esimerkki 1.2.4
$\bullet$ $\forall x\in (\sqrt x\ge x)$tarkoittaa $\forall x (x\in \merkitsee \sqrt x\ge x).$
$\bullet$ $ \forall x
$\square$
eksistentiaalinen Kvantifioija
lause $\on olemassa x\, P (x)$ on tosi, jos ja vain jos on vähintään yksi arvo $x$ (diskurssin universumista), joka tekee $P (x)$ tosi.
esimerkki 1.2.5
$\bullet$ $\existes x (x \ge x^2)$on totta, koska $x=0$ on ratkaisu. On monia muitakin.
$\bullet$ $\existes x\,\existes y (x^2+y^2=2xy)$ on totta, koska$x=y=1$ on yksi monista ratkaisuista.
$\square$
”some” – muodossa. Eksistentialquantifier esiintyy usein seuraavassa yhteydessä: $$\existes x\(P (x)\land Q(x)),$$, joka voidaan lukea, ”Some $x$ täyttävän $P(x)$ alsosatisfies $Q(x)$.”
esimerkki 1.2.6
$\bullet$ $\existes x\, \hbox{($x$ on professori $\land$ $x$ on republikaani)}$, ts. ”jotkut professorit ovat republikaaneja.”
$\bullet$ $\existes x\, \hbox {($x$ on alkuluku $\land$ $X$ on parillinen)}$, ts. ” jotkut alkuluvut ovat parillisia.”
$\square$
se voi aluksi tuntua, että” jotkut $x$ tyydyttävä $P(x)$tyydyttää $Q(x)$ ” olisi käännettävä$$\existes x (P(x)\merkitsee Q(x)),$$kuten universaali quantifier. Jos haluat nähdä,miksi tämä ei toimi, oletetaan $P(x)=\hbox{”$x$ is an apple”}$ ja $Q (x)=\hbox{”$x$ is anorange.”} $ Lause ”jotkut omenat ovat appelsiineja” on varmastifalse, mutta$$\existes x (P(x)\merkitsee Q(x))$$on tosi. Jos haluat nähdä tämän oletetaan $x_0$ on jokin tietty oranssi. Tällöin$P (x_0)\merkitsee Q (x_0)$ arvioi arvoksi $\hbox{F}\merkitsee \hbox{t}$, joka on t, ja eksistentiaalinen kvantifioija on täytetty.
käytämme ”jotkut” – muodon lyhenteitä paljolti samaan tapaan kuin”kaikki” – muodon lyhenteitä.
esimerkki 1.2.7
$\bullet$ $\existes x
$\bullet$ $ \existes x\in (2x^2+x =1)$ \existes x ((x\in )\land (2x^2+x=1)) $ $\square$
jos $\forall$ vastaa ”kaikkia” ja $\existes$ vastaa ”joitain” tarvitsemmeko kolmannen kvantifioijan vastaamaan ”Ei yhtään”? Kuten seuraava osoittaa, tämä ei ole tarpeen:
esimerkki 1.2.8
$\bullet$ ”Ei demokraatit ole republikaaneja”, voidaan kirjoittaa $\forall x$ ($x$ on demokraatti $\merkitsee$ $x$ ei ole republikaani).
$\bullet$ ”kolmiot eivät ole suorakulmioita”, voidaan kirjoittaa $\forall x$ ($x$ on kolmio $\merkitsee$ $x$ ei ole suorakulmio).
$\square$
yleensä lausuma ”ei $x$ täytä $P (x)$ tyydyttää $Q (x)$” voidaan kirjoittaa $$\forall x(P(x)\merkitsee \lnot Q (x)).$$(Saatat ihmetellä, miksi emme käytä $\lnot \existes x\, (P(x)\land Q (x))$. Itse asiassa voisimme-se vastaa $\forall x(P(x)\merkitsee \lnot Q (x))$.)
harjoitukset 1.2
näissä ongelmissa oletetaan diskurssin kaikkeuden olevan olemassa olevia lukuja.
Ex 1.2.1 ilmaista seuraavat kaavat kvantifioijina:
A) mikä tahansa neljänteen potenssiin nostettu luku on ei-negatiivinen.
b) jokin kolmanteen potenssiin nostettu luku on negatiivinen.
c) kulman sini on aina välillä $+1$ ja $-1$.
d) kulman sekantti ei ole koskaan tarkkaan välillä $+1$ ja $-1$.
Ex 1.2.2 oletetaan $X$ ja $Y$ ovat sarjoja. Ilmaise seuraavat kaavat, joissa quantifiers.
a)jokainen alkuaine $X$ on alkuaine $Y$.
b)jokin alkuaine $X$ on alkuaine $Y$.
c)jokin osa $X$ ei ole osa $Y$.
d)mikään osa $X$ ei ole osa $Y$.
Ex 1.2.3 muista (laskennasta), että funktio $f$ kasvaa, jos$$ \forall a \forall b (a
a) $f$ pienenee.
b) $f$ on vakio.
c) $f$ on nolla.
Ex 1.2.4 ilmaisevat seuraavat lait symbolisesti:
a) kertolaskun kommutatiivinen laki
b) kertolaskun assosiatiivinen laki
c) jakolaki
Ex 1.2.5 ovatko seuraavat lauseet tosia vai epätosia?
a) $\forall x \forall y (x
b) $\forall x \forall y \forall z\ne 0 (xz=yz\implies x=y)$
c) $\existes x
d) $\existes x \existes y \existes z (x^2+y^2+z^2=2xy-2+2z)$
Ex 1.2.6 oletetaan $P (x)$ ja $Q (y)$ ovat kaavoja.
a) onko $\forall x \forall y (P(x)\merkitsee Q(y))$vastaava kuin $\forall x(P(x)) \merkitsee \forall y(Q(y))$?
B) Onko $\existes x \existes y (P(x)\land Q(y))$vastaava kuin $\existes x(P(x)) \land \existes y(Q(y))$?