Calculus II-Lisää sekvensseistä
Näytä Mobiiliilmoitus Näytä kaikki muistiinpanot Piilota kaikki muistiinpanot
Jakso 4-2 : Lisää sekvensseistä
edellisessä jaksossa esitimme jonon käsitteen ja puhuimme sekvenssien rajoista sekä jonon konvergenssin ja divergenssin ajatuksesta. Tässä osiossa haluamme ottaa nopeasti tarkastella joitakin ideoita, joihin sekvenssejä.
aloitetaan muutamilla terminologioilla ja määritelmillä.
koska tahansa jono \(\left\ { {{{a_n}} \right\}\) meillä on seuraava.
- kutsumme jonoa kasvavaksi, jos \({a_n} < {a_{n + 1}}\) jokaiselle \(n\).
- kutsumme jonoa pieneneväksi, jos \({a_n} > {a_{n + 1}}\) jokaiselle \(n\).
- jos \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) on kasvava jono tai \(\left\ { {{{a_n}} \right\}\) on laskeva jono, kutsumme sitä monotoniseksi.
- jos on olemassa luku \(m\) sellainen, että \(m \le {a_n}\) jokaiselle \(n\) sanotaan, että jono rajoittuu alla. Lukua \(m\) kutsutaan joskus sekvenssin alarajaksi.
- jos on olemassa luku \(m\) sellainen, että \({a_n} \le m\) jokaiselle \(n\) sanotaan, että jono rajoittuu edellä. Lukua \(M\) kutsutaan joskus jonon ylärajaksi.
- jos järjestysnumero on sekä rajattu alla että rajattu yllä, kutsutaan järjestysnumero rajattu.
huomaa, että jotta jono kasvaa tai vähenee, sen on oltava kasvava/vähenevä jokaiselle \(n\). Toisin sanoen sekvenssi, joka kasvaa kolmen termin ja sitten pienenee muiden termien osalta, ei ole laskeva sekvenssi! Huomaa myös, että monotonisen sekvenssin täytyy aina kasvaa tai sen täytyy aina vähentyä.
ennen kuin siirrymme eteenpäin, meidän tulisi tehdä nopea piste noin rajoja jono, joka rajoittuu ylä-ja / tai alapuolella. Korostamme alarajoja, mutta voisimme yhtä hyvin puhua ylärajoista.
jono rajataan alle, jos löytyy jokin luku \(m\) siten, että \(M \le {a_n}\) jokaiselle \(n\). Huomaa kuitenkin, että jos löydämme yhden numeron \(m\) käytettäväksi alarajalle, niin mikä tahansa luku, joka on pienempi kuin \(m\), on myös alaraja. Myös, vain koska löydämme yhden alarajan, joka ei tarkoita, ettei olisi” parempi ” alaraja sekvenssille kuin se, jonka löysimme. Toisin sanoen, on olemassa ääretön määrä alarajoja jono, joka rajoittuu alla, jotkut ovat parempia kuin toiset. Luokallani haluan vain alarajan. En välttämättä tarvitse parasta alarajaa, vain numeron, joka on alaraja sekvenssille.
Katsotaanpa pari esimerkkiä.
- \(\left\ { {- {n^2}} \right\} _ {N = 0}^ \ infty \)
- \(\vasen\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}} \right\} _ {n = 1}^ \ infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{N = 5}^\infty \)
Näytä kaikki ratkaisut Piilota kaikki ratkaisut
tämä sarja on laskeva sarja (ja siten monotoninen), koska,
\
jokaiselle \(n\).
myös, koska sekvenssin termit ovat joko nolla tai negatiivinen, tämä sekvenssi rajoittuu edellä. Voimme käyttää mitä tahansa positiivista lukua tai nollaa kuin sidottu, \(M\), kuitenkin, se on standardi valita pienin mahdollinen sidottu, jos voimme ja se on mukava luku. So, we ’ ll choose \(M = 0\) since,
\
this sequence is not bounded below however because we can always get below any potential bound by taking \(n\) large enough. Siksi, vaikka sekvenssi on rajattu edellä sitä ei rajata.
Sivuhuomautuksena voimme myös todeta, että tämä jono eroaa (\(- \infty\), jos haluamme olla tarkkoja).
b \(\left\{ {{{\left ({- 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Näytä ratkaisu
tämän sekvenssin termit vaihtelevat välillä 1 ja -1, joten sekvenssi ei ole kasvava tai laskeva sekvenssi. Koska sekvenssi ei ole kasvava eikä laskeva sekvenssi, se ei ole monotoninen sekvenssi.
lukua rajoittaa kuitenkin se, että se rajoittuu edellä lukuun 1 ja alapuolella lukuun -1.
taas voidaan todeta, että tämäkin järjestys on poikkeava.
C \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{N = 5}^\infty \) Näytä ratkaisu
tämä jono on laskeva jono (ja siten monotoninen), sillä
\
tämän jonon termit ovat kaikki positiivisia, joten sitä rajoittaa alla nolla. Myös, koska sekvenssi on laskeva sekvenssi ensimmäinen sekvenssi termi on suurin ja niin voimme nähdä, että sekvenssi on myös rajoittaa edellä \(\frac{2}{{25}}\). Siksi tämä sekvenssi rajoittuu.
voimme myös ottaa pikarajan ja todeta, että tämä jono konvergoituu ja sen raja on nolla.
nyt, työskennellään pari esimerkkiä, jotka on suunniteltu varmistamaan, että emme saa liian tottunut luottamaan intuitioon näiden ongelmien kanssa. Kuten totesimme edellisessä osassa intuitiomme voi usein johtaa meidät harhaan joidenkin käsitteiden kanssa, joita tarkastelemme tässä luvussa.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{n}{{n + 1}}} \right\} _ {n = 1}^ \ infty \)
- \(\vasen\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{N = 0}^\infty \)
Näytä kaikki ratkaisut Piilota kaikki ratkaisut
aloitamme tämän esimerkin rajoittamalla osalla ensin ja palaamme sitten käsittelemään kasvavaa/laskevaa kysymystä, koska siinä opiskelijat tekevät usein virheitä tämän tyyppisessä järjestyksessä.
ensimmäinen, \(n\) on positiivinen, joten sarjan termit ovat kaikki positiivisia. Sekvenssi rajataan siis alle nollalla. Samoin jokainen sekvenssitermi on luvun osamäärä jaettuna suuremmalla luvulla, joten se on taatusti pienempi kuin yksi. Sekvenssi on sitten rajoittaa edellä yksi. Joten, tämä sekvenssi on rajoitettu.
nyt mietitään monotonista kysymystä. Ensinnäkin opiskelijat tekevät usein virheen olettaa, että koska nimittäjä on suurempi osamäärä on laskeva. Näin ei aina ole, ja tässä tapauksessa olisimme väärässä. Tämä sarja kasvaa, kuten näemme.
tämän sekvenssin lisääntyvän / vähenevän luonteen määrittämiseksi meidän on turvauduttava Calculus I-tekniikoihin. Tarkastellaan ensin seuraavaa funktiota ja sen johdannaista.
\
voimme nähdä, että ensimmäinen derivaatta on aina positiivinen, joten Calculus I: stä tiedämme, että funktion on silloin oltava kasvava funktio. Miten tämä auttaa meitä? Huomaa, että
\
siksi, että \(n < n + 1\) ja \(F\left( x \right)\) kasvaa, voidaan myös sanoa, että
\
toisin sanoen, jono on lisääntymässä.
huomaa, että nyt kun tiedämme, että sekvenssi on kasvava sekvenssi, voimme saada paremman alarajan sekvenssille. Koska jono kasvaa ensimmäisen termin sekvenssi on pienin termi ja niin koska olemme alkaneet \(n = 1\) voisimme myös käyttää alarajaa \(\frac{1}{2}\) tässä järjestyksessä. On tärkeää muistaa, että mikä tahansa luku, joka on aina pienempi tai yhtä suuri kuin kaikki sekvenssin termit voivat olla alaraja. Jotkut ovat kuitenkin parempia kuin toiset.
pikaraja kertoo myös, että tämä jono konvergoituu raja-arvolla 1.
ennen kuin siirrytään seuraavaan osaan, on luonnollinen kysymys, joka monella oppilaalla on tässä vaiheessa. Miksi käytämme Calculus määrittää kasvava / vähenevä luonne sekvenssi, kun olisimme voineet vain kytketty pari \(n\) ’ S ja nopeasti määritetään sama asia?
vastaus tähän kysymykseen on tämän esimerkin seuraava osa!
b \(\left\{ {\displaystyle \frac {{{{n^3}}} {{{n^4} + 10000}}} \right\}_{N = 0}^\infty \) Näytä ratkaisu
tämä on sotkuisen näköinen sarja, mutta sen on oltava, jotta tämän osan piste saadaan.
ensinnäkin, huomaa, että kuten edellisessä osassa, sekvenssin termit ovat kaikki positiivisia ja ne kaikki ovat vähemmän kuin yksi (koska osoittaja on taatusti pienempi kuin nimittäjä), joten sekvenssi on rajoitettu.
nyt siirrytään kasvavaan / laskevaan kysymykseen. Kuten viimeinen ongelma, monet opiskelijat tarkastelevat exponents osoittaja ja nimittäjä ja määrittää perustuu siihen, että sekvenssi termit on vähennettävä.
tämä ei kuitenkaan ole laskeva sarja. Katsotaan muutaman ensimmäisen termin nähdä tämä.
\
tämän sekvenssin 10 ensimmäistä ehtoa ovat kaikki lisääntymässä, joten selvästi sekvenssi ei voi olla laskeva sekvenssi. Muista, että sekvenssi voi olla vähenemässä vain, jos kaikki ehdot ovat vähenemässä.
nyt emme voi tehdä toista yleistä virhettä ja olettaa, että koska ensimmäiset termit kasvavat, niin koko sekvenssin täytyy myös kasvaa. Jos tekisimme niin, olisimme myös väärässä, koska tämäkään ei ole kasvava sarja.
tämä sarja ei laske eikä kasva. Ainoa varma tapa nähdä tämä on tehdä Calculus I lähestymistapa kasvaa/vähenee toimintoja.
tällöin tarvitaan seuraava funktio ja sen derivaatta.
\
tällä funktiolla on seuraavat kolme kriittistä pistettä,
\{{30000}} \approx 13.1607,\hspace{0.25 in}\,\,\,\, x = – \sqrt{{30000}} \approx-13.1607\]
miksi kriittiset pisteet? Muista nämä ovat ainoat paikat, joissa derivaatta voi muuttaa merkkiä! Meidän sekvenssi alkaa \(N = 0\) ja niin voimme sivuuttaa kolmas, koska se on ulkopuolella arvot \(n\), että olemme harkitsee. Liittämällä mukaan joitakin \(x\): n testiarvoja voimme nopeasti määrittää, että derivaatta on positiivinen \(0 < x < \sqrt{{30000}} \approx 13.16\), joten funktio kasvaa tällä alueella. Samoin voidaan nähdä, että derivaatta on negatiivinen \(x > \sqrt{{30000}} \approx 13.16\), joten funktio pienenee tällä alueella.
niin, meidän sekvenssi kasvaa \ (0 \le n \le 13\) ja vähenee \(n \ge 13\). Siksi funktio ei ole monotoninen.
huomaa lopuksi, että tämäkin jono konvergoituu ja sen raja on nolla.
kuten edellinen esimerkki on osoittanut, meidän on oltava varovaisia tehdessämme oletuksia sekvensseistä. Intuitiomme ei useinkaan riitä saamaan oikeaa vastausta, emmekä voi koskaan tehdä oletuksia sekvenssistä ensimmäisten termien arvon perusteella. Kuten viimeinen osa on osoittanut, on sekvenssejä, jotka kasvavat tai vähenevät muutaman ehdon ja sitten muuttaa suuntaa sen jälkeen.
Huomaa myös, että sanoimme tässä ”muutaman ensimmäisen termin”, mutta on täysin mahdollista, että jono pienenee ensimmäisten 10 000 termin osalta ja alkaa sitten kasvaa jäljellä olevien termien osalta. Toisin sanoen, ei ole ”maaginen” arvo \(n\), jolle meidän tarvitsee vain tarkistaa siihen pisteeseen asti ja sitten tiedämme, mitä koko sekvenssi tekee.
ainoa kerta, jolloin voimme välttää Calculus I-tekniikoiden käytön jonon lisääntyvän/vähenevän luonteen määrittämisessä, on sekvensseissä, kuten esimerkin 1 osassa (C). Tässä tapauksessa kasvaa \(n\) vain muuttunut (itse asiassa lisääntynyt) nimittäjä ja niin pystyimme määrittämään käyttäytymistä sekvenssi perustuu siihen.
esimerkissä 2 Kuitenkin \(n\) lisääminen lisäsi sekä nimittäjää että osoittajaa. Tällaisissa tapauksissa ei ole mitään keinoa määrittää, mikä lisäys ”voittaa” ja aiheuttaa sekvenssin termit lisätä tai vähentää, joten meidän täytyy turvautua Calculus I tekniikoita vastata kysymykseen.
suljemme tämän osion mukavalla lauseella, jota käytämme joissakin vedoksissa myöhemmin tässä luvussa.
lause
jos \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) on rajattu ja monotoninen, niin \(\left\ {{{{a_n}} \right\}\) on konvergentti.
varo käyttämästä väärin tätä lausetta. Se ei sano, että jos jono ei ole rajoitettu ja/tai ei monotoninen, että se on divergentti. Esimerkki 2b on hyvä esimerkki. Sekvenssi tässä esimerkissä ei ollut monotoninen, mutta se ei converge.
Huomaa myös, että tästä lauseesta voidaan tehdä useita variantteja. Jos \(\left\ {{{{a_n}} \right\}\) rajoittuu edellä ja kasvaa, niin se konvergoituu ja samoin jos \(\left\ {{{{a_n}} \right\}\) rajoittuu alla ja pienenee, niin se konvergoituu.