Calculus
tässä aiheessa, tutkimme, miten integroida tiettyjä yhdistelmiä, joihin tuotteet ja valtuudet trigonometristen funktioiden.
käsittelemme \(8\) tapauksia.
arvioidaksemme sinin ja kosinin tuotteiden integraaleja eri argumenteilla, sovellamme identiteettejä
integraaleja muodossa \({\large\int\normalsize} {{\sin^m}x\,{\cos^n}xdx}\)
oletamme tässä, että potenssit \(m\) ja \(n\) ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja.
tämän muodon integraalin löytämiseksi käytetään seuraavia sijamuotoja:
tyypin \(\int {{{\sin }^n}xdx} \) ja \(\int {{{{\CoS }^n}xdx}\) integraaleja voidaan arvioida reduktiokaavoilla
\
\
Integraalit muodossa \({\large\int\normalsize} {{\tan^n}xdx} \)
integrandin potenssi voidaan pienentää käyttämällä trigonometristä identiteettiä \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) ja reduktiokaavaa
\
Integraalit muodossa \({\large\int\normalsize} {{{\cot} ^n}xdx} \)
integrandin potenssi voidaan pienentää käyttämällä trigonometristä identiteettiä \(1 + {\cot ^n}x = {\csc ^n}x\) ja vähennyskaava
\
Integraalit muodossa \({\large\int\normalsize} {{\sec^n}xdx} \)
tämän tyyppisiä integraaleja voidaan yksinkertaistaa reduktiokaavan avulla:
\
Integraalit muodossa \({\large\int\normalsize} {{\csc^n}xdx} \)
edellisten esimerkkien tapaan tämänkaltaisia integraaleja voidaan yksinkertaistaa kaavalla
\
muodon \({\large\int\normalsize} {{\tan^m}x\,{\sec^n}xdx} \)
muodon \ ({\large\int\normalsize} {{\cot^m}x\, {\csc^n}xdx} \)
ratkaistut ongelmat
Napsauta tai napauta ongelmaa nähdäksesi ratkaisun.
Esimerkki 1.
laske integraali \({\large\int\normalsize} {{\sin^3}xdx}.\)
ratkaisu.
Let \(u = \cos x,\) \(du = -\sin xdx.\ ) Sitten
Esimerkki 2.
arvioi integraali \({\large\int\normalsize} {{\Cos^5}xdx}.\)
ratkaisu.
tekemällä substituution \(u = \sin x,\) \(du = \cos xdx\) ja käyttämällä identiteettiä \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x,\) saadaan
esimerkki 3.
Etsi integraali \({\large\int\normalsize} {{\sin^6}xdx}.\)
ratkaisu.
käyttämällä identiteettejä \({\sin ^2}x = {\large\frac{{1 – \cos 2x}}{2}\normalsize}\) ja \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\) voimme kirjoittaa:
laskea jälkimmäisen lausekkeen integraalit.
\
löytääksemme integraalin \({\large\int\normalsize} {{\Cos^3}2xdx},\) teemme substituution \(u = \sin 2x,\) \(du =\) \( 2\cos 2xdx.\ ) Sitten
näin ollen alkuperäinen integraali on
esimerkki 4.
Etsi integraali \(\int {{{\sin }^2}x\, {{{{\cos} ^3}x}dx}.\)
ratkaisu.
kosinin teho on pariton, joten tehdään substituutio
\
me kirjoittaa integraalin kannalta \(\sin x\) saada:
esimerkki 5.
laske integraali \({\large\int\normalsize} {{{{\sin }^2}x\, {{\cos} ^4}xdx}.\)
ratkaisu.
voimme kirjoittaa:
\
me muuntaa integrand käyttäen identiteettejä
\
näin saadaan
esimerkki 6.
arvioi integraali \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos} ^4}xdx}.\)
ratkaisu.
koska sinin potenssi on pariton, käytetään substituutiota
\
integraali kirjoitetaan seuraavasti
\
pythagoralaisen identiteetin mukaan,
\
näin ollen
esimerkki 7.
arvioi integraali \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos} ^5}xdx}.\)
ratkaisu.
näemme, että molemmat potenssit ovat parittomia, joten voimme korvata joko \(u = \sin x\) tai \(u = \cos x.\ ) Valitsemalla vähiten eksponentti, olemme
\
integraali saa muodon
\
pythagoralaisen identiteetin käyttäminen,
\
voimme kirjoittaa
esimerkki 8.
arvioi integraali \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos} ^3}xdx}.\)
ratkaisu.
\
pythagoralaisen identiteetin mukaan,
\
joten saamme