kiinteän pisteen lause
kiinteän pisteen lause, Mikä tahansa matematiikan eri lause, joka käsittelee joukon pisteiden muuntumista saman joukon pisteiksi, joissa voidaan todistaa, että ainakin yksi piste pysyy kiinteänä. Esimerkiksi jos jokainen reaaliluku on neliö, numerot nolla ja yksi pysyvät kiinteinä; kun taas muunnos, jossa jokaista lukua lisätään yhdellä, ei jätä mitään lukua kiinteäksi. Ensimmäisessä esimerkissä, muunnoksessa, joka koostuu jokaisen luvun neliöimisestä, kun sovelletaan Nollaa suurempien ja alle yhden (0,1) lukujen avoimeen väliin, ei myöskään ole kiinteitä pisteitä. Tilanne kuitenkin muuttuu suljetun väliajan osalta, kun päätepisteet lasketaan mukaan. Jatkuva muunnos on sellainen, jossa naapuripisteet muuttuvat toisiksi naapuripisteiksi. (Katso continuity.) Brouwerin kiinteän pisteen lause toteaa, että mikä tahansa suljetun levyn (myös rajan) jatkuva muunnos itsessään jättää ainakin yhden pisteen kiinteäksi. Lause pätee myös pisteiden jatkuviin muunnoksiin suljetulla intervallilla, suljetussa pallossa tai abstrakteissa korkeampiulotteisissa joukoissa, jotka ovat analogisia pallon kanssa.
kiinteän pisteen teoreemojen avulla voidaan selvittää, onko yhtälöllä ratkaisu. Esimerkiksi differentiaaliyhtälöissä differentiaalioperaattoriksi kutsuttu muunnos muuttaa yhden funktion toiseksi. Differentiaaliyhtälön ratkaisun löytäminen voidaan sitten tulkita siten, että funktio löydetään muuttumattomana siihen liittyvällä muunnoksella. Tarkastelemalla näitä funktioita pisteinä ja määrittelemällä kokoelma funktioita, jotka ovat analogisia edellä mainitulle kokoelmalle pisteitä, jotka käsittävät levyn, voidaan Brouwerin kiinteän pisteen lauseelle analogiset teoreemat todistaa differentiaaliyhtälöille. Tunnetuin tämän tyyppinen lause on ranskalaisen Jean Lerayn ja puolalaisen Julius Schauderin vuonna 1934 julkaisema Lerayn-Schauderin lause. Onko tämä menetelmä tuottaa ratkaisu (eli onko kiinteä piste voidaan löytää) riippuu tarkka luonne differentiaalioperaattorin ja kokoelma toimintoja, joista ratkaisua haetaan.