Ominaisarvot, ominaisvektorit ja ominaisuuskoostumus

mitä sinun tarvitsee tietää ymmärtääksesi tämän aiheen?

• lineaarialgebran perusteet

osiot

• Eigenwhat?
• Eigendekoostumus
• esimerkki
• miksi eigendekoostumus on hyödyllinen?
• matriisin käänteismatriisi
• matriisin teho
• eigendekoostumuksen ominaisuudet
• miten eigendekoostumus lasketaan?
• Power iteration
• QR-algoritmi

– mitä?

Eigen tarkoittaa omaa tai itseä. Lineaarialgebrassa eigenvalue, eigenvector ja eigendecomposition ovat termejä, jotka liittyvät läheisesti toisiinsa. Eigendekompositio on menetelmä, jolla neliömatriisi hajotetaan sen eigenvalueiksi ja eigenvektoreiksi. Matriisille $a$, jos$$\begin {yhtälö}a\mathbf{v}=\lambda \mathbf{V}\label{eq: Avlv}\end{yhtälö}$$, niin $\mathbf{v}$ on matriisin eigenvektori $A$ ja $\lambda$ vastaava eigenvalue. Toisin sanoen jos matriisi $a$ kerrotaan vektorilla ja tuloksena on saman vektorin skaalattu versio, se on $a$ eigenvektori ja skaalauskerroin on sen eigenvalue.

Eigendecomposition

Joten miten löydämme matriisin eigenvektorit? From $\eqref{eq: Avlv}$:$$a\mathbf{v} – \lambda I \mathbf{V} = 0$$ $ \begin {equation} (a – \lambda I) \mathbf{v} = 0\label{eq:AlI}\end{equation},$$missä $i$ on identiteettimatriisi. Arvo $\lambda$ missä $\eqref{eq: AlI}$ pätee ovat arvo $a$. On käynyt ilmi, että tämä yhtälö vastaa:$$\begin {yhtälö}det (a – \lambda I) = 0,\label{eq:detAlI}\end{yhtälö}$$missä det () on matriisin determinantti.

Proof that $det (a – \lambda I) \equiv (a – \lambda I) \mathbf{v}=0$

an example

Let ’ s see the eigendecomposition for the matrix:$$a=\left$$From $\eqref{eq: detAlI}$:$$det\left (\left\right) = 0$$$$(1-\lambda) (3-\lambda) = 0$$saamme suoraan $\lambda_1 = 1$ ja $\lambda_2 = 3$. Yllä olevaa lauseketta kutsutaan yleensä matriisin karakteristiseksi polinomiyhtälöksi tai karakteristiseksi yhtälöksi.
liittämällä $\lambda_1$ osaksi $\eqref{eq: Avlv}$, saamme:$$\left\left= 1 \left$$josta saamme $v_{11} = -2v_{12}$. Toisin sanoen mikä tahansa vektori $\mathbf{v_1} = $ missä $v_{11} = -2v_{12}$ on eigenvektori $a$ eigenvalue 1.
liittämällä $\lambda_2$ osaksi $\eqref{eq: Avlv}$, saamme:$$\left\left= 3 \left$$josta saamme $v_{21} = 0$ ja $v_{22} \in \mathbb{R}$. Toisin sanoen mikä tahansa vektori $\mathbf{v_2} = $ missä $v_{21} = 0$ on eigenvektori $a$ eigenvalue 3.

miksi eigendekoostumus on hyödyllinen?

viitaten edelliseen esimerkkiimme, voimme yhdistää sekä eigenvektorit että eigenvalut yhdeksi matriisiyhtälöksi:Jos korvaamme:$$\Lambda = \left$$$V =\left$$on myös totta, että:$$av =V\Lambda$$$\begin{yhtälö}A = V\Lambda v^{-1}\label{eq:AVLV}\End{yhtälö}$Eigendecomposition hajottaa matriisin$A$eigenvektorien matriisin kertolaskuksi$V$ja A diagonaalinen matriisi eigenvalues$\Lambda$. Tämä voidaan tehdä vain, jos matriisi on diagonalisoituva. Itse asiassa diagonalisoituvan matriisin $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ määritelmä on, että se voidaan liittää $n$ eigenvektoreihin siten, että $V^{-1}AV = \Lambda$.

matriisin käänteisarvo eigendekomposition kanssa

alkaen $\eqref{eq:AVLV}$:$$a^{-1} = V \Lambda^{-1}V^{-1}$$\Lambda $käänteisarvo on vain kunkin diagonaalisen elementin käänteisarvo (eigenvalues).

matriisin teho, jossa on eigendekompositio

From $ \eqref{eq: AVLV}$:$ $ a^2 = V \Lambda V^{-1} V \Lambda^{2} V^{-1}$$ $ A^n = v \Lambda^n V^{-1}$$\Lambda $voima on vain voima kunkin lävistäjä elementti. Tämä tulee paljon yksinkertaisemmaksi kuin kertolaskut A.

eigendekoostumuksen ominaisuudet

• $det(a)=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i$ (A: n determinantti on yhtä suuri kuin sen yksikköarvojen tulo)
• $A: n determinantti on yhtä suuri kuin sen yksikköarvojen summa)
• $ A: n yksikköarvot ovat $\\lambdai^{-1}$
• $A^{n}$ eigenvalues ovat $ \lambda_i^{n}$
• yleisesti, $f(a)$ eigenvalues ovat $f(\lambda_i)$
• $a^{-1}$ eigenvektorit ovat samat kuin $a$.
• jos $A$ on hermitian (sen konjugaattitranspoosi on yhtä suuri kuin se itse) ja täysrivin (kaikki rivit tai sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia), niin eigenvektorit ovat keskenään ortogonaalisia (minkä tahansa kahden eigenvektorin pistetulo on nolla) ja eigenvektorit ovat reaalisia.
• $A$ on käännettävissä, jos kaikki sen ominaisarvot ovat erilaisia kuin nolla ja päinvastoin.
• jos matriisin $A$ eigenvalueet ovat erillisiä (ei toisteta), A voidaan eigendekomposoida.

miten eigendekoostumus lasketaan?

karakteristisen polinomin laskeminen ja sen ratkaiseminen eigenvalujen suhteen käy epäkäytännölliseksi matriisin koon kasvaessa. Käytännössä iteratiivisia algoritmeja käytetään matriisin kokoamiseen.

Potenssiseraatio

Potenssiseraatio on iteratiivinen menetelmä, jolla lasketaan korkein eigenvektori ja siihen liittyvä eigenvektori. Vain korkein arvo / vektori löytyy, joten tämä menetelmä on rajoitettu käyttö.

ensin aloitetaan jollakin vektorilla $b_0$, joka voi olla Valistunut arvaus dominoivasta eigenvektorista tai satunnaisvektorista. Iteroidaan sitten seuraavan yhtälön kautta:$$b_{K + 1} = \frac{A B_k}{\left\Vert A b_k \right\Vert}.$$Jokaisessa iteraatiossa vektori jätetään-kerrotaan matriisilla $A$ ja normalisoidaan, jolloin se konvergoituu dominoivaan eigenvektoriin. Tämä menetelmä toimii vain, jos:

• $$ : n arvo on suurempi tai yhtä suuri kuin kaikkien muiden.
• vektorilla $b_0$ on nonzero-komponentti dominoivan eigenvektorin suunnassa (eli niiden pistetulo on eri kuin nolla)

käyttämällä esimerkkimatriisia $A$ ja alkuperäistä vektoria:$$b_0 = \left$$ensimmäiseen vaiheeseen:$$b_1 = \frac{\left\left}{\left\Vert\left\right\Vert}=\frac {\left}{5} = \left$$seuraavia vaiheita varten, käytä viimeinen $b$ ja:$$b_2= \left, b_3= \left, b_4=\left, b_5=\left$$ja$$ \left \Vert A B_5\right \Vert = 2,99$$ jos muistat, of $a$ on 3 ja sen eigenvektori on $\mathbf{v} = $, missä $V_{21} = 0$ ja $v_{22}$ voi olla mikä tahansa arvo.

QR-algoritmi

QR-algoritmi käyttää QR-hajoamista iteratiivisesti eigendekoostumuksen tekemiseen. Muista, että QR-hajoaminen hajottaa matriisin $A$ ortogonaaliseksi matriisiksi $Q$ ja ylemmän kolmiomatriisin $R$ as $a = QR$.