Élément d’identité

Tout objet mathématique qui, lorsqu’il est appliqué par une opération, telle qu’une addition ou une multiplication, à un autre objet mathématique, tel qu’un nombre, laisse l’autre objet inchangé est appelé élément d’identité. Les deux exemples les plus familiers sont 0, qui lorsqu’il est ajouté à un nombre donne le nombre, et 1, qui est un élément d’identité pour la multiplication.

Plus formellement, un élément d’identité est défini par rapport à une opération donnée et à un ensemble d’éléments donné. Par exemple, 0 est l’élément d’identité pour l’addition d’entiers; 1 est l’élément d’identité pour la multiplication de nombres réels. De ces exemples, il est clair que l’opération doit faire intervenir deux éléments, comme le fait l’addition, pas un seul élément, en tant qu’opérations telles que la prise de puissance.

Parfois, un ensemble n’a pas d’élément d’identité pour une opération. Par exemple, l’ensemble des nombres pairs n’a pas d’élément d’identité pour la multiplication, bien qu’il existe un élément d’identité pour l’addition. La plupart des systèmes mathématiques nécessitent un élément d’identité. Par exemple, un groupe de transformations ne pourrait exister sans un élément d’identité qui est la transformation qui laisse un élément du groupe inchangé.