1.2 Quantificateurs
Rappelons qu’une formule est un énoncé dont la valeur de vérité peut dépendre des valeurs de certaines variables. Par exemple,
« $x\le 5\land x> 3$ »
est vrai pour $x = 4 and et faux pour$x = 6 6. Comparez cela avec l’instruction
« Pour chaquelandx,,xx\le 5\land x>3$, »
ce qui est définitivement faux et l’instruction
« Il existe un $x such tel quexx\le 5\land x>3$, »
ce qui est certainement vrai. Le membre de phrase « pour chaque $x$ »(parfois « pour tout $x$ ») est calleda quantificateur universel et est indiqué par $\forall x$. L’expression « il existe unanx such tel que » est appelée un quantificateur existentiel et est notée par $\exists x$. Une formule contenant des variables n’est pas simplement vraie ou fausse à moins que chacune de ces variables ne soit liée par un quantificateur. Si une variable n’est pas liée, la vérité de la formule dépend de la valeur attribuée à la variable de l’univers du discours.
Dans la section 1.1, nous avons pris soin de définir précisément les valeurs de vérité des énoncés composés. Nous faisons la même chose pour$\forall x\, P(x) and et $\exists x\, P(x),, bien que les significations prévues soient claires.
Le Quantificateur Universel
Une phrase $\forall x\,P(x)$ est vraie si et seulement si $P(x)$ est vraie nomatter quelle valeur (à partir de l’univers de discours) est remplacé par $x$.
Exemple 1.2.1
$\bulletfor\forall x(x^2\ge 0),, c’est-à-dire « le carré d’un nombre quelconque n’est pas négatif. »
bullet\bulletfor\forall x\, \forall y(x + y = y + x),, c’est-à-dire la loi commutative de l’addition.
bullet\bulletfor\forall x\, \forall y\, \forall z((x + y) + z = x +(y + z)))i, c’est-à-dire la loi associative de l’addition.
square\carré$
La forme « tout ».Le quantificateur universel est fréquemment rencontrés dans le contexte suivant:$$\forall x (P(x)\implique Q(x)),$$ce qui peut être lu, « Tout $x$ de satisfaire $P(x)$ aussi satisfaire$Q(x)$. »Les parenthèses sont cruciales ici; assurez-vous de comprendre la différence entre la forme « tout » et $\forall x\, P(x)\ implique \forall x\, Q(x) and et and(\forall x\, P(x)) \ implique Q(x)$.
Cette dernière formule peut également être écrite comme $\forall x\, P(x) \impliesQ(x)$, c’est-à-dire que le quantificateur universel a une plus grande avance que le conditionnel; pour éviter tout malentendu, il est préférable d’inclure les parenthèses. La signification de cette formulaireil ne peut pas être clair au début. La valeur de $x$ dans $P(x)$ est liée par universelle des quantificateurs, mais le $x$ dans $Q(x)$ ne l’est pas. La formule$(\forall x\,P(x))\implique Q(x) a le même sens que $(\forallx\,P(x))\implique Q(y)$, et sa vérité dépend de la valeur assignedto la variable dans $Q(\cdot)$.
Exemple 1.2.2
$\bullet$ $\forall x$ ($x$ est un carré de $\implique$ $x$ est un rectangle),c’est à dire, « tous les carrés sont des rectangles. »
$\bullet$ $\forall x$ ($x$ de vie à Walla Walla $\implique$ $$ x vit dans l’état de Washington), c’est à dire, « toute personne qui vit dans Walla Walla vit dans l’état de Washington. »
square\carré$
Cette construction est parfois utilisée pour exprimer une phrase mathématique de la forme « si ceci, alors cela » avec un quantificateur « compris ».
Exemple 1.2.3
$\bullet$ Si nous disons, « si $x$ est négatif, donc c’est son cube, » weusually signifie « tous les négatifs $x$ est négatif cube. »Cela devrait être écrit symboliquement comme$\forall x((x
\\bullet « »Si deux nombres ont le même carré, alors ils ont la même valeur absolue » devrait être écrit comme$\forall x \, \forall y((x^2 = y^2)\ implique (\vert x\vert = \vert y \vert))$.
$\bullet$ « Si $x=y$, alors $x+z=y+z$ » doit être écrit $\forall x\,\forally\,\forall z ((x=y)\implique (x+z=y+z))$.
$\square$
Si $S$ est un ensemble, la phrase « tout $x$ dans $S$ satisfait $P(x)$ » iswritten officiellement que$$\forall x ((x\S)\implique P(x))$$ Pour plus de clarté et de concision, ce qui est généralement écrit $\forall x\,{\in}\,S\,(P(x))$. Pour comprendre et manipuler correctement la formule $\forallx\, {\in}\, S\,(P(x)) properly, vous devrez parfois la « décomplexer », la réécrire en $\forall x((x\inS)\impliesP(x))$.
Exemple 1.2.4
$\bulletfor\forall x\in(\sqrt x\ge x)stands signifie $\forall x(x\in\ implique \sqrt x\ge x).$
$\bullet$ $\forall x
$\square$
Le Quantificateur Existentiel
Une phrase, $\exists x\,P(x)$ est vraie si et seulement si il est à leastone valeur de $x$ (à partir de l’univers de discours) qui fait que $P(x)$ true.
Exemple 1.2.5
$\bulletexists\ existe x(x\ge x^2)is est vrai puisque $x = 0 is est une solution. Il y en a beaucoup d’autres.
$\bulletexists\ existe x \, \ existe y(x ^2 + y ^2 = 2xy) is est vrai puisquexx = y = 1 is est l’une des nombreuses solutions.
square\carré$
La forme « certains ». Le existentialquantifier est fréquemment rencontrés dans le contexte suivant: $$\exists x\(P(x)\terres Q(x)),$$ ce qui peut être lu », Certains de $x$ satisfaisant $P(x)$ alsosatisfies $Q(x)$. »
Exemple 1.2.6
$\bullet$ $\exists x\, \hbox{($x$ est un professeur de $\terres$ $x$ est un républicain)}$, c’est à dire, « un professeur est républicain. »
$\bullet$ $\exists x\, \hbox{($x$ est un nombre premier $\terres$ $x$ est la même)}$, c’est à dire, »certains nombre premier est la même. »
$\square$
Il peut sembler à première vue que « Certains de $x$ satisfaisant $P(x)$satisfait $Q(x)$ » devrait être traduit par$$\exists x (P(x)\implique Q(x)),$$comme le quantificateur universel. Pour voir pourquoi cela ne fonctionne pas,supposons que $P(x)=\hbox{« $x$ est une pomme »}$ et $Q(x)=\hbox{« $x$ est anorange. »} The La phrase « certaines pommes sont des oranges » est certainementfalse, mais$$\exists x(P(x)\ implique Q(x))is est vrai. Pour voir cela, supposons quexx_0 is soit une orange particulière. AlorsPP(x_0) \ implique Q(x_0) evalu évalue à $\hbox{F}\ implique \hbox{T},, qui est T, et le quantificateur existentiel est satisfait.
Nous utilisons des abréviations de la forme « certains » un peu comme celles de la forme « tous ».
Exemple 1.2.7
$\bullet$ $\exists x
$\bullet$ $ \exists x\in (2x^2+x =1)$ représente $ \exists x ((x\in )\terres (2x^2+x=1))$$\square$
Si $\forall$ correspond à « tous » et $\exists$ correspond à « certains »avons-nous besoin d’une troisième quantificateur correspondre à « aucun »? Comme le montre ce qui suit, ce n’est pas nécessaire:
Exemple 1.2.8
$\bullet$ « Pas les démocrates, les républicains, » peut être écrit $\forall x$ ($x$ est un démocrate $\implique$ $x$ n’est pas un républicain).
$\bullet$ « Aucun triangles sont rectangles, » peut être écrit $\forall x$ ($x$ est un triangle $\implique$ $x$ n’est pas un rectangle).
$\square$
En général, la mention « pas de $x$ satisfaisant $P(x)$ satisfait $Q(x)$ » peut être écrit $$\forall x (P(x)\implique \lnot Q(x)).You(Vous vous demandez peut-être pourquoi nous n’utilisons pas x\lnot\exists x\,(P(x)\land Q(x))$. En fait, nous pourrions – cela équivaut à $\forall x(P(x)\ implique \lnot Q(x))$.)
Exercices 1.2
Dans ces problèmes, supposons que l’univers du discours est celui des nombres réels.
Ex 1.2.1 Exprime ce qui suit sous forme de formules impliquant des quantificateurs:
a) Tout nombre élevé à la quatrième puissance est non négatif.
b) Un certain nombre porté à la troisième puissance est négatif.
c) Le sinus d’un angle est toujours compris entre $ +1$ et $-1$.
d) La sécante d’un angle n’est jamais strictement comprise entre $ +1$ et $-1$.
Ex 1.2.2 Supposons queXX and etYY are sont des ensembles. Exprimez ce qui suit sous forme de formules impliquant des quantificateurs.
a) Chaque élément deXX is est un élément deYY$.
b) Un élément deXX is est un élément deYY$.
c) Un élément deXX is n’est pas un élément deYY$.
d) Aucun élément deXX is n’est un élément deYY$.
Ex 1.2.3 Rappelez (à partir du calcul) qu’une fonctionff$ augmente si$$\forall a\forall b (a
a) $f$ diminue.
b) $f is est constant.
c) $f has a un zéro.
Ex 1.2.4 Expriment symboliquement les lois suivantes:
a) la loi commutative de la multiplication
b) la loi associative de la multiplication
c) la loi distributive
Ex 1.2.5 Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses?
a)\ \forall x \forall y (x
b) b \forall x \forall y \forall z \ne 0 (xz = yz \ implique x =y)
c)exists\ existe x
d) $ \ existe x \ existe y\ existe z(x^2 +y^2 +z ^2 = 2x-2 +2z)$
Ex 1.2.6 Supposons quePP(x) and etQQ(y) are soient des formules.
a) Estequivalent \forall x \forall y(P(x) \ implique Q(y))equivalent équivalent àequivalent\forall x(P(x)) \ implique \forall y(Q(y))? ?
b) Est-ce que $\existe x\ existe y(P(x) \terre Q(y))equivalent équivalent àequivalent\existe x(P(x)) \terre \ existe y(Q(y))? ?