Calcul
Dans ce sujet, nous étudierons comment intégrer certaines combinaisons impliquant des produits et des puissances de fonctions trigonométriques.
Nous considérons \(8\) cas.
Pour évaluer des intégrales de produits de sinus et de cosinus avec des arguments différents, nous appliquons les identités
Intégrales de la forme \({\large\int\normalsize}{{\sin^m}x\, {\cos^n}xdx}\)
Nous supposons ici que les puissances \(m\) et \(n\) sont des entiers non négatifs.
Pour trouver une intégrale de cette forme, utilisez les substitutions suivantes:
Les intégrales de type \(\int{{{\sin}^n}xdx}\) et \(\int{{{\cos}^n}xdx}\) peuvent être évaluées par des formules de réduction
\
\
Intégrales de la forme \({\large\int\normalsize}{{\tan^n}xdx}\)
La puissance de l’intégrande peut être réduite en utilisant l’identité trigonométrique \(1 +{\tan^2}x = {\sec^2}x\) et la formule de réduction
\
Intégrales de la forme \({\large\int\normalsize}{{{\cot}^n}xdx}\)
La puissance de l’intégrande peut être réduite en utilisant l’identité trigonométrique \(1 +{\cot ^n}x = {\csc^n}x\) et la formule de réduction
\
Intégrales de la forme \({\large\int\normalsize}{{\sec^n}xdx} \)
Ce type d’intégrales peut être simplifié à l’aide de la formule de réduction:
\
Intégrales de la forme \({\large\int\normalsize}{{\csc^n}xdx}\)
De même que les exemples précédents, ce type d’intégrales peut être simplifié par la formule
\
Intégrales de la forme \({\large\int\normalsize}{{\tan^m}x\, {\sec^n}xdx}\)
Intégrales de la forme \({\large\int\normalsize}{{\cot^m} x\, {\csc^n}xdx} \)
Problèmes résolus
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Exemple 1.
Calculez l’intégrale \({\large\int\normalsize} {{\sin^3}xdx}.\)
Solution.
Soit \(u = \cos x, \)\(du =-\sin xdx.\) Puis
Exemple 2.
Évaluez l’intégrale \({\large\int\normalsize} {{\cos^5} xdx}.\)
Solution.
En faisant la substitution \(u = \sin x,\)\(du=\cos xdx\) et en utilisant l’identité \({\cos^2}x= 1 -{\sin^2} x,\) on obtient
Exemple 3.
Trouvez l’intégrale \({\large\int\normalsize} {{\sin^6}xdx}.\)
Solution.
En utilisant les identités \({\sin^2}x = {\large\frac{{1-\cos 2x}} {2} \normalsize}\) et \({\cos^2}x = {\large\frac{{1 +\cos 2x}} {2} \normalsize}, \) nous pouvons écrire:
Calculez les intégrales dans cette dernière expression.
\
Pour trouver l’intégrale \({\large\int\normalsize} {{\cos^3} 2xdx}, \) nous effectuons la substitution \(u = \sin 2x, \)\(du =\)\(2\cos 2xdx.\) Alors
Par conséquent, l’intégrale initiale est
Exemple 4.
Trouvez l’intégrale \(\int{{{\sin}^2} x\, {{{\cos}^3}x}dx}.\)
Solution.
La puissance du cosinus est impaire, nous faisons donc la substitution
\
Nous réécrivons l’intégrale en termes de \(\sin x\) pour obtenir:
Exemple 5.
Calculez l’intégrale \({\large\int\normalsize}{{{\sin}^2} x\, {{\cos}^4} xdx}.\)
Solution.
On peut écrire:
\
Nous convertissons l’intégrande en utilisant les identités
\
Cela donne
Exemple 6.
Évaluez l’intégrale \(\int{{{\sin}^3} x\, {{\cos}^4}xdx}.\)
Solution.
Comme la puissance du sinus est impaire, on utilise la substitution
\
L’intégrale s’écrit comme suit
\
Par l’identité pythagoricienne,
\
D’où
Exemple 7.
Évaluez l’intégrale \(\int{{{\sin}^3}x\, {{\cos}^5}xdx}.\)
Solution.
Nous voyons que les deux puissances sont impaires, nous pouvons donc remplacer \(u = \sin x\) ou \(u = \cos x.\) En choisissant le moindre exposant, nous avons
\
L’intégrale prend la forme
\
Utilisation de l’identité pythagoricienne,
\
on peut écrire
Exemple 8.
Évaluez l’intégrale \(\int{{{\sin}^3}x\, {{\cos}^3}xdx}.\)
Solution.
\
Par l’identité pythagoricienne,
\
on obtient donc