Calcul II – En savoir plus sur les séquences
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Chapitre 4-2 : En savoir plus sur les séquences
Dans la section précédente, nous avons introduit le concept de séquence et parlé des limites des séquences et de l’idée de convergence et de divergence pour une séquence. Dans cette section, nous voulons jeter un coup d’œil à quelques idées impliquant des séquences.
Commençons par quelques termes et définitions.
Étant donné n’importe quelle séquence \(\left\{{{a_n}} \right\}\), nous avons ce qui suit.
- Nous appelons la séquence croissante si \({a_n} < {a_{n + 1}}\) pour chaque \(n\).
- On appelle la séquence décroissante si \({a_n} > {a_{n + 1}}\) pour chaque \(n\).
- Si \(\left\{{{a_n}}\right\}\) est une séquence croissante ou \(\left\{{{a_n}}\right\}\) est une séquence décroissante, nous l’appelons monotone.
- S’il existe un nombre \(m\) tel que \(m\le{a_n}\) pour chaque \(n\), nous disons que la séquence est bornée ci-dessous. Le nombre \(m\) est parfois appelé une borne inférieure pour la séquence.
- S’il existe un nombre \(M\) tel que \({a_n}\le M\) pour chaque \(n\), nous disons que la séquence est bornée ci-dessus. Le nombre \(M\) est parfois appelé limite supérieure de la séquence.
- Si la séquence est à la fois bornée en dessous et bornée au-dessus, nous appelons la séquence bornée.
Notez que pour qu’une séquence augmente ou diminue, elle doit être croissante / décroissante pour chaque \(n\). En d’autres termes, une séquence qui augmente pour trois termes puis diminue pour le reste des termes n’est PAS une séquence décroissante! Notez également qu’une séquence monotone doit toujours augmenter ou diminuer.
Avant de passer à autre chose, nous devrions faire un point rapide sur les limites d’une séquence délimitée au-dessus et / ou en dessous. Nous allons faire le point sur les limites inférieures, mais nous pourrions tout aussi bien le faire sur les limites supérieures.
Une séquence est bornée ci-dessous si nous pouvons trouver n’importe quel nombre \(m\) tel que \(m\le{a_n}\) pour chaque \(n\). Notez cependant que si nous trouvons un nombre \(m\) à utiliser pour une borne inférieure, tout nombre inférieur à \(m\) sera également une borne inférieure. De plus, ce n’est pas parce que nous trouvons une borne inférieure que cela signifie qu’il n’y aura pas de « meilleure » borne inférieure pour la séquence que celle que nous avons trouvée. En d’autres termes, il existe un nombre infini de bornes inférieures pour une séquence délimitée ci-dessous, certaines seront meilleures que d’autres. Dans ma classe, tout ce que je recherche sera une limite inférieure. Je n’ai pas nécessairement besoin de la meilleure borne inférieure, juste un nombre qui sera une borne inférieure pour la séquence.
Jetons un coup d’œil à quelques exemples.
- \(\gauche\{{-{n^2}} \ droite\} _ {n= 0}^\infty \)
- \(\ gauche \{{{{\ gauche({-1}\ droite)}^{n+1}}} \ droite\} _{n=1}^\infty \)
- \(\ left\{{\displaystyle\frac{2}{{{n^2}}}}\right\}_{n= 5}^\infty\)
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Cette séquence est une séquence décroissante (et donc monotone) car,
\
pour chaque \(n\).
De plus, puisque les termes de la séquence seront nuls ou négatifs, cette séquence est bornée au-dessus. Nous pouvons utiliser n’importe quel nombre positif ou zéro comme borne, \(M\), cependant, il est standard de choisir la plus petite borne possible si nous le pouvons et c’est un bon nombre. Donc, nous choisirons \(M = 0\) puisque,
\
Cette séquence n’est pas limitée en dessous cependant car nous pouvons toujours obtenir en dessous de n’importe quel potentiel lié en prenant \(n\) assez grand. Par conséquent, bien que la séquence soit bornée au-dessus, elle n’est pas bornée.
En note latérale, nous pouvons également noter que cette séquence diverge (en \(-\infty\) si nous voulons être spécifiques).
b\(\left\{{{{\left({-1}\right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty\) Afficher la solution
Les termes de séquence dans cette séquence alternent entre 1 et -1 et donc la séquence n’est ni une séquence croissante ni une séquence décroissante. Comme la séquence n’est ni une séquence croissante ni une séquence décroissante, elle n’est pas une séquence monotone.
La séquence est cependant bornée puisqu’elle est bornée au-dessus de 1 et bornée au-dessous de -1.
Encore une fois, on peut noter que cette séquence est également divergente.
c\(\left\{{\displaystyle\frac{2}{{{n^2}}}}\right\}_{n = 5}^\infty\) Afficher la solution
Cette séquence est une séquence décroissante (et donc monotone) puisque,
\
Les termes de cette séquence sont tous positifs et sont donc limités ci-dessous par zéro. De plus, comme la séquence est une séquence décroissante, le premier terme de séquence sera le plus grand et nous pouvons donc voir que la séquence sera également délimitée ci-dessus par \(\frac{2}{{25}}\). Par conséquent, cette séquence est bornée.
On peut aussi prendre une limite rapide et noter que cette séquence converge et que sa limite est nulle.
Maintenant, travaillons quelques autres exemples conçus pour nous assurer que nous ne nous habituons pas trop à nous fier à notre intuition avec ces problèmes. Comme nous l’avons noté dans la section précédente, notre intuition peut souvent nous égarer avec certains des concepts que nous examinerons dans ce chapitre.
- \(\left\{{\displaystyle\frac{n}{{n+1}}} \right\}_{n=1}^\infty \)
- \(\ gauche \{{\displaystyle\frac{{{n^3}}} {{{n^4} +10000}}} \ droite\}_{n= 0}^\infty\)
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Nous allons d’abord commencer par la partie bornée de cet exemple, puis revenir et traiter de la question croissante / décroissante car c’est là que les élèves font souvent des erreurs avec ce type de séquence.
Tout d’abord, \(n\) est positif et donc les termes de la séquence sont tous positifs. La séquence est donc bornée ci-dessous par zéro. De même, chaque terme de séquence est le quotient d’un nombre divisé par un plus grand nombre et est donc garanti inférieur à un. La séquence est alors délimitée ci-dessus par un. Donc, cette séquence est bornée.
Réfléchissons maintenant à la question monotone. Premièrement, les élèves commettront souvent l’erreur de supposer que, parce que le dénominateur est plus grand, le quotient doit diminuer. Ce ne sera pas toujours le cas et dans ce cas, nous aurions tort. Cette séquence augmente comme nous le verrons.
Pour déterminer la nature croissante /décroissante de cette séquence, nous devrons recourir aux techniques de calcul I. Considérons d’abord la fonction suivante et sa dérivée.
\
Nous pouvons voir que la dérivée première est toujours positive et donc d’après le calcul I nous savons que la fonction doit alors être une fonction croissante. Alors, en quoi cela nous aide-t-il? Notez que,
\
Donc parce que \(n < n +1\) et \(f\left(x\right)\) augmente nous pouvons également dire que,
\
En d’autres termes, la séquence doit être croissante.
Notez que maintenant que nous savons que la séquence est une séquence croissante, nous pouvons obtenir une meilleure borne inférieure pour la séquence. Puisque la séquence augmente, le premier terme de la séquence doit être le plus petit terme et donc puisque nous commençons à \(n = 1\), nous pourrions également utiliser une borne inférieure de \(\frac{1}{2}\) pour cette séquence. Il est important de se rappeler que tout nombre qui est toujours inférieur ou égal à tous les termes de la séquence peut être une borne inférieure. Certains sont meilleurs que d’autres cependant.
Une limite rapide nous indiquera également que cette séquence converge avec une limite de 1.
Avant de passer à la partie suivante, il y a une question naturelle que beaucoup d’étudiants auront à ce stade. Pourquoi avons-nous utilisé le calcul pour déterminer la nature croissante / décroissante de la séquence alors que nous aurions pu simplement brancher quelques \(n\) et déterminer rapidement la même chose?
La réponse à cette question est la partie suivante de cet exemple!
b\(\left\{{\displaystyle\frac{{{n^3}}} {{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty\) Afficher la solution
C’est une séquence désordonnée, mais elle doit l’être pour faire ressortir cette partie.
Tout d’abord, notez que, comme pour la partie précédente, les termes de la séquence sont tous positifs et seront tous inférieurs à un (puisque le numérateur est garanti inférieur au dénominateur) et donc la séquence est bornée.
Passons maintenant à la question croissante /décroissante. Comme pour le dernier problème, de nombreux étudiants examineront les exposants du numérateur et du dénominateur et détermineront en fonction de cela que les termes de la séquence doivent diminuer.
Ceci n’est cependant pas une séquence décroissante. Jetons un coup d’œil aux premiers termes pour voir cela.
\
Les 10 premiers termes de cette séquence sont tous croissants et donc clairement la séquence ne peut pas être une séquence décroissante. Rappelons qu’une séquence ne peut être décroissante que si TOUS les termes sont décroissants.
Maintenant, nous ne pouvons pas faire une autre erreur commune et supposer que parce que les premiers termes augmentent, la séquence entière doit également augmenter. Si nous faisions cela, nous nous tromperions également car ce n’est pas non plus une séquence croissante.
Cette séquence n’est ni décroissante ni croissante. La seule façon sûre de voir cela est de faire le calcul que j’approche des fonctions croissantes / décroissantes.
Dans ce cas, nous aurons besoin de la fonction suivante et de sa dérivée.
\
Cette fonction aura les trois points critiques suivants,
\{{30000}} \ approx 13.1607, \hspace{0.25in} \, \,\,\, x =-\sqrt{{30000}}\approx-13.1607\]
Pourquoi les points critiques? Rappelez-vous que ce sont les seuls endroits où le dérivé peut changer de signe! Notre séquence commence à \(n = 0\) et nous pouvons donc ignorer la troisième car elle se trouve en dehors des valeurs de \(n\) que nous considérons. En branchant certaines valeurs de test de \(x\), nous pouvons rapidement déterminer que la dérivée est positive pour \(0 < x < \sqrt{{30000}} \ environ 13,16 \) et donc la fonction augmente dans cette plage. De même, nous pouvons voir que la dérivée est négative pour \(x > \sqrt{{30000}} \ environ 13,16\) et donc la fonction diminuera dans cette plage.
Ainsi, notre séquence sera croissante pour \(0\le n\le 13\) et décroissante pour \(n\ge 13\). Par conséquent, la fonction n’est pas monotone.
Enfin, notez que cette séquence convergera également et a une limite de zéro.
Ainsi, comme le dernier exemple l’a montré, nous devons faire attention à faire des hypothèses sur les séquences. Notre intuition ne sera souvent pas suffisante pour obtenir la bonne réponse et nous ne pouvons JAMAIS faire d’hypothèses sur une séquence basée sur la valeur des premiers termes. Comme la dernière partie l’a montré, il y a des séquences qui vont augmenter ou diminuer pendant quelques termes, puis changer de direction après cela.
Notez également que nous avons dit « premiers termes » ici, mais il est tout à fait possible qu’une séquence diminue pour les 10 000 premiers termes, puis commence à augmenter pour les termes restants. En d’autres termes, il n’y a pas de valeur « magique » de \(n\) pour laquelle tout ce que nous avons à faire est de vérifier jusqu’à ce point et ensuite nous saurons ce que fera toute la séquence.
La seule fois où nous pourrons éviter d’utiliser les techniques de Calcul I pour déterminer la nature croissante /décroissante d’une séquence est dans des séquences comme la partie (c) de l’exemple 1. Dans ce cas, l’augmentation de \(n\) ne changeait (en fait augmentait) que le dénominateur et nous avons donc pu déterminer le comportement de la séquence en fonction de cela.
Dans l’exemple 2 cependant, l’augmentation de \(n\) augmentait à la fois le dénominateur et le numérateur. Dans de tels cas, il n’y a aucun moyen de déterminer quelle augmentation « gagnera » et provoquera une augmentation ou une diminution des termes de séquence et nous devons donc recourir aux techniques de calcul I pour répondre à la question.
Nous terminerons cette section avec un joli théorème que nous utiliserons dans certaines des preuves plus loin dans ce chapitre.
Théorème
Si \(\left\{{{a_n}}\right\}\) est borné et monotone alors \(\left\{{{a_n}}\right\}\) est convergent.
Attention à ne pas abuser de ce théorème. Il ne dit pas que si une séquence n’est pas bornée et / ou pas monotone, elle est divergente. L’exemple 2b en est un bon exemple. La séquence dans cet exemple n’était pas monotone mais elle converge.
Notez également que nous pouvons faire plusieurs variantes de ce théorème. Si \(\left\{{{a_n}}\right\}\) est borné au-dessus et croissant alors il converge et de même si \(\left\{{{a_n}}\right\}\) est borné en dessous et décroissant alors il converge.