Matrice de gains

En théorie des jeux, une matrice de gains est un tableau dans lequel les stratégies d’un joueur sont répertoriées en lignes et celles de l’autre joueur en colonnes et les cellules affichent les gains pour chaque joueur de sorte que le gain du joueur en ligne soit répertorié en premier.

Le gain d’une partie est un gain/ avantage ou une perte/ coût incrémental qui revient à un joueur en exécutant sa stratégie compte tenu de la stratégie de l’autre joueur. Le gain dépend du contexte du jeu. Par exemple, les entreprises qui décident de leurs budgets publicitaires s’inquiètent de leurs revenus, les entreprises qui investissent de nouveaux investissements dans des usines et des machines souhaitent trouver leur taux de rendement, etc.

Une matrice de gains est un outil important en théorie des jeux car elle résume les informations nécessaires et nous aide à déterminer s’il existe une stratégie dominante et/ou un équilibre de Nash. Il a une application dans les modèles d’oligopoles, etc.

Présentation

Si le joueur de ligne a n stratégies et le joueur de colonne a m stratégies, le nombre de cellules dans la matrice doit être n × m et un nombre total de valeurs de gain de 2 × n × m doit être là.

Une matrice de gains répertorie le nom du joueur de ligne à gauche de la matrice et le nom du joueur de colonne au-dessus de la matrice. Les stratégies du joueur de ligne forment les lignes de la matrice et les stratégies du joueur de colonne forment sa colonne. Le gain pour le joueur de ligne est toujours répertorié en premier dans chaque cellule, mais la présentation réelle peut varier comme suit:

• Les gains peuvent être séparés à l’aide d’une virgule de sorte que les gains pour le joueur de ligne apparaissent à gauche de la virgule et que les gains pour le joueur de colonne sont répertoriés à droite de la virgule.
• Alternativement, le gain de ligne est répertorié en bas à gauche de chaque cellule et le gain de colonne est affiché dans le coin supérieur droit de la cellule. Parfois, une diagonale est dessinée à l’intérieur de la cellule pour séparer les deux gains.L’exemple ci-dessous illustre différentes méthodes de présentation.

Exemple

Considérons deux opérateurs de télécommunication : Ligne et Colonne. Actuellement, ils se partagent le marché à parts égales. Il y a un marché inexploité de 50 millions de dollars. Si Row étend son réseau, il sera en mesure de capturer l’ensemble des revenus de 50 millions de dollars si Column n’étend pas son réseau, et vice versa. De même, si les deux étendent leur réseau, Row obtiendra 20 millions de dollars de revenus supplémentaires et Column 30 millions de dollars, mais si personne n’étend son réseau, les deux ne généreront aucun revenu supplémentaire.

Créons une matrice de gains pour ce jeu.

• Il y a deux joueurs: Ligne et Colonne et chacun a deux stratégies, c’est-à-dire développer ou ne pas développer. Par conséquent, il doit y avoir quatre cellules dans la matrice.
• Nous listons Row comme le joueur dont les stratégies sont répertoriées en lignes en rouge et Column comme le joueur dont les stratégies sont tabulées en colonnes en bleu.
• La cellule supérieure gauche correspond à une stratégie dans laquelle les deux entreprises se développent. Dans une telle éventualité, la ligne obtient 20 millions de dollars (qui apparaît en premier) et la colonne obtient 30 millions de dollars (qui apparaît en dernier).
• La cellule inférieure gauche correspond à une stratégie lorsque la ligne ne se développe pas mais la colonne se développe. Le gain à la ligne et à la colonne dans ce cas est respectivement de 0 et 50 millions de dollars. Ce gain s’inverse dans le coin supérieur droit qui représente le gain lorsque la ligne se développe mais pas la colonne.
• La cellule en bas à droite représente une situation dans laquelle aucune des deux entreprises ne se déplace pour capturer le marché, et les deux obtiennent un gain de zéro.

Le tableau suivant montre les différentes façons dont la matrice de gains peut être présentée.

par Obaidullah Jan, ACA, CFA et dernière modification le 20 juin 2019
Etudier pour le programme CFA®? Accédez à la banque de notes et de questions pour CFA® Niveau 1 rédigée par moi à l’adresse suivante: AlphaBetaPrep.com