Systèmes de contrôle – Nyquist Plots

Les tracés de Nyquist sont la continuation des tracés polaires pour trouver la stabilité des systèmes de contrôle en boucle fermée en faisant varier ω de −∞ à ∞. Cela signifie que les tracés de Nyquist sont utilisés pour dessiner la réponse en fréquence complète de la fonction de transfert en boucle ouverte.

Critère de stabilité de Nyquist

Le critère de stabilité de Nyquist fonctionne sur le principe de l’argument. Il stipule que s’il y a P pôles et que Z zéros sont enfermés par le chemin fermé du plan ‘s’, alors le plan $G(s)H(s) corresponding correspondant doit encercler l’origine timesP−Z times fois. Ainsi, on peut écrire le nombre d’encerclements N comme,

$$N = P-Z$$

• Si le chemin fermé du plan « s » fermé ne contient que des pôles, alors la direction de l’encerclement dans le planGG(s) H(s)$ sera opposée à la direction du chemin fermé fermé dans le plan « s ».

• Si le chemin fermé du plan « s » clos ne contient que des zéros, alors la direction de l’encerclement dans le planGG(s) H(s)$ sera dans la même direction que celle du chemin fermé clos dans le plan « s ».

Appliquons maintenant le principe d’argument à toute la moitié droite du plan « s » en le sélectionnant comme chemin fermé. Ce chemin sélectionné s’appelle le contour de Nyquist.

On sait que le système de commande en boucle fermée est stable si tous les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée sont dans la moitié gauche du plan « s ». Ainsi, les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée ne sont rien d’autre que les racines de l’équation caractéristique. À mesure que l’ordre de l’équation caractéristique augmente, il est difficile de trouver les racines. Corrélons donc ces racines de l’équation caractéristique comme suit.

• Les pôles de l’équation caractéristique sont identiques à ceux des pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte.

• Les zéros de l’équation caractéristique sont les mêmes que ceux des pôles de la fonction de transfert en boucle fermée.

Nous savons que le système de contrôle en boucle ouverte est stable s’il n’y a pas de pôle en boucle ouverte dans la moitié droite du plan « s ».

c’est-à-dire$P = 0\Rightarrow N =-Z$

Nous savons que le système de contrôle en boucle fermée est stable s’il n’y a pas de pôle en boucle fermée dans la moitié droite du plan « s ».

c’est-à-dire,$Z = 0\Rightarrow N = P$

Le critère de stabilité de Nyquist stipule que le nombre d’encerclements autour du point critique (1 + j0) doit être égal aux pôles de l’équation caractéristique, qui n’est rien d’autre que les pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte dans la moitié droite du plan « s ». Le décalage d’origine vers (1+ j0) donne le plan d’équation caractéristique.

Règles pour dessiner des tracés de Nyquist

Suivez ces règles pour tracer les tracés de Nyquist.

• Localisez les pôles et les zéros de la fonction de transfert en boucle ouverteGG(s) H(s) in dans le plan ‘s’.

• Dessinez le tracé polaire en faisant varieromega\omega from de zéro à l’infini. Si pôle ou zéro présent à s = 0, alors variant $\omega from de 0 + à l’infini pour dessiner un tracé polaire.

• Dessinez l’image miroir du tracé polaire ci-dessus pour des valeurs de\\omega ranging allant de -∞ à zéro (0 – si un pôle ou zéro est présent à s = 0).

• Le nombre de demi-cercles de rayon infini sera égal au nombre de pôles ou de zéros à l’origine. Le demi-cercle de rayon infini commencera au point où se termine l’image miroir du tracé polaire. Et ce demi-cercle de rayon infini se terminera au point où commence le tracé polaire.

Après avoir dessiné le tracé de Nyquist, nous pouvons trouver la stabilité du système de contrôle en boucle fermée en utilisant le critère de stabilité de Nyquist. Si le point critique (-1 + j0) se trouve en dehors de l’encerclement, le système de contrôle en boucle fermée est absolument stable.

Analyse de stabilité À l’aide de tracés de Nyquist

À partir des tracés de Nyquist, nous pouvons identifier si le système de contrôle est stable, marginalement stable ou instable en fonction des valeurs de ces paramètres.

• Fréquence de croisement de gain et fréquence de croisement de phase
• Marge de gain et marge de phase

Fréquence de croisement de phase

La fréquence à laquelle le tracé de Nyquist coupe l’axe réel négatif (l’angle de phase est de 1800) est connue sous le nom de fréquence de croisement de phase. Il est désigné par $\omega_{pc}$.

Fréquence de croisement de gain

La fréquence à laquelle le tracé de Nyquist a la magnitude d’un est connue sous le nom de fréquence de croisement de gain. Il est désigné par $\omega_{gc}$.

La stabilité du système de commande basée sur la relation entre la fréquence croisée de phase et la fréquence croisée de gain est listée ci-dessous.

• Si la fréquence de croisement de phase\\omega_{pc} is est supérieure à la fréquence de croisement de gain frequency\omega_{gc},, alors le système de contrôle est stable.

• Si la fréquence de croisement de phase\\omega_{pc} is est égale à la fréquence de croisement de gain frequency\omega_{gc},, alors le système de contrôle est marginalement stable.

• Si la fréquence de croisement de phase\\omega_{pc} is est inférieure à la fréquence de croisement de gain frequency\omega_{gc},, alors le système de contrôle est instable.

Marge de gain

La marge de gainGMGM is est égale à l’inverse de la magnitude du tracé de Nyquist à la fréquence de croisement de phase.

GMGM=\frac{1}{M_{pc}}$$

Où,MM_{pc} is est la grandeur en échelle normale à la fréquence de croisement de phase.

Marge de phase

La marge de phase $PM is est égale à la somme de 1800 et de l’angle de phase à la fréquence de croisement de gain.

PMPM = 180^0 +\phi_{gc}

Où, $\phi_{gc} is est l’angle de phase à la fréquence de croisement de gain.

La stabilité du système de contrôle basée sur la relation entre la marge de gain et la marge de phase est listée ci-dessous.

• Si la marge de gainGMGM is est supérieure à un et que la marge de phasePMPM is est positive, alors le système de contrôle est stable.

• Si la marge de gainGMGM is est égale à un et la marge de phasePMPM is est de zéro degré, alors le système de contrôle est marginalement stable.

• Si la marge de gainGMGM is est inférieure à un et/ou la marge de phasePMPM is est négative, alors le système de contrôle est instable.