Théorème du point fixe
Théorème du point fixe, l’un des différents théorèmes en mathématiques traitant d’une transformation des points d’un ensemble en points du même ensemble où il peut être prouvé qu’au moins un point reste fixe. Par exemple, si chaque nombre réel est au carré, les nombres zéro et un restent fixes ; alors que la transformation par laquelle chaque nombre est augmenté d’un ne laisse aucun nombre fixe. Le premier exemple, la transformation consistant à mettre au carré chaque nombre, lorsqu’elle est appliquée à l’intervalle ouvert de nombres supérieurs à zéro et inférieurs à un (0,1), n’a pas non plus de points fixes. Cependant, la situation change pour l’intervalle fermé, avec les points de terminaison inclus. Une transformation continue est une transformation dans laquelle des points voisins sont transformés en d’autres points voisins. (Voir continuité.) Le théorème du point fixe de Brouwer stipule que toute transformation continue d’un disque fermé (y compris la limite) en lui-même laisse au moins un point fixe. Le théorème est également vrai pour les transformations continues des points sur un intervalle fermé, dans une boule fermée ou dans des ensembles abstraits de dimensions supérieures analogues à la boule.
Les théorèmes à point fixe sont très utiles pour savoir si une équation a une solution. Par exemple, dans les équations différentielles, une transformation appelée opérateur différentiel transforme une fonction en une autre. Trouver une solution d’une équation différentielle peut alors être interprété comme trouver une fonction inchangée par une transformation connexe. En considérant ces fonctions comme des points et en définissant une collection de fonctions analogues à la collection de points ci-dessus comprenant un disque, des théorèmes analogues au théorème du point fixe de Brouwer peuvent être prouvés pour les équations différentielles. Le théorème le plus célèbre de ce type est le théorème de Leray-Schauder, publié en 1934 par le Français Jean Leray et le Polonais Julius Schauder. Le fait que cette méthode donne ou non une solution (c’est-à-dire que l’on puisse trouver ou non un point fixe) dépend de la nature exacte de l’opérateur différentiel et de l’ensemble des fonctions à partir desquelles une solution est recherchée.