1.2 Kvantorok
emlékezzünk arra, hogy egy képlet olyan állítás, amelynek igazságértékeegyes változók értékeitől függhet. Például
” $x \ le 5 \ land x> 3$”
igaz a $x= 4$ és hamis A$x= 6$. Hasonlítsa össze ezt a
” minden $x$, $x \ le 5 \ land x>3$,”
ami határozottan hamis, és az állítás
“létezik egy $ x$ oly módon, hogy $x \ le 5 \ land x>3$,”
ami határozottan igaz. A “minden $x$”(néha “minden $x$”) kifejezést hívjákegy univerzális kvantor, amelyet $ \ forall x$jelöl. A “létezik egy $x$ oly módon, hogy” kifejezést existentialquantifier-nek nevezzük, és $\exists x$jelöli. A változókat tartalmazó képlet nem egyszerűigazi vagy hamis, kivéve, ha ezen változók mindegyikét kvantor köti. Ha egy változó nem kötött, akkor a képlet igazsága a diskurzus univerzumából származó változóhoz rendelt értéktől függ.
az 1.1. szakaszban óvatosan határoztuk meg az összetett állítások igazságértékeit. Ugyanezt tesszük a$\forall x\,P(x)$ és $\exists x\,P(x)$ esetében is, bár ezek szándékolt jelentése egyértelmű.
az univerzális kvantor
egy mondat $\forall x\,P(x)$ csak akkor igaz, ha $P(x)$ igaz nomatter milyen érték (a diskurzus univerzumából) helyettesíti $x$.
példa 1.2.1
$\bullet$ $\forall x (x^2\ge 0)$,azaz “bármely szám négyzete nem negatív.”
$\bullet$ $\forall x\,\forall y (x+y=y+x)$, azaz az összeadás kommutatív törvénye.
$\bullet$ $\forall x\,\forall y\,\forall z ((x+y)+z=x+(y+z))$,azaz az összeadás asszociatív törvénye.
$\négyzet$
a” minden ” forma.Az univerzális kvantorral gyakran találkozunk a következő kontextusban:$$ \ forall x(P(x)\magában foglalja Q(x)),$$amely olvasható: “minden $x$ kielégíti $P(x)$ is kielégíti$Q (x)$.”A zárójelek itt kulcsfontosságúak; győződjön meg róla,hogy megérti a különbséget az “all” forma és a $\forall x\, P(x)\azt jelenti,\forall x\, Q(x)$ és $(\forall x\, P(x))\azt jelenti, Q(x)$.
ez utóbbi képletet úgy is írhatjuk,hogy $\forall x\, P(x)\impliesQ(x)$, vagyis az univerzális kvantor magasabb példa nélküli, mint a feltételes; a félreértések elkerülése érdekében a legjobb, ha zárójeleket tartalmaz. Ennek a képletnek a jelentéseelőször nem lehet egyértelmű. A $x$ in $P(x)$ – t az univerzális kvantor köti, de a $x$ in $Q (x)$ nem. A$(\forall x\,P(x))\képletnek Q(x)$ jelentése megegyezik a $(\forallx\,P(x))\jelentésével Q(y)$, igazsága pedig a $Q(\cdot)$változóhoz rendelt értéktől függ.
1.2.példa.2
$ \ bullet$ $ \ forall x$ ($x$ egy négyzet $ \ azt jelenti,$ $ x$ egy téglalap), azaz “minden négyzet téglalap.”
$\bullet$ $\forall x$ ($x$ Walla Walla-ban él $\azt jelenti, hogy$ $x$ Washingtonban él), azaz “minden ember, aki Walla Walla-ban él, Washingtonban él.”
$\négyzet$
ezt a konstrukciót néha a “Ha ez, akkor az” forma amatematikai mondatának kifejezésére használják egy” megértett ” kvantorral.
1.2.példa.3
$\bullet$ ha azt mondjuk, hogy “ha $x$ negatív, akkor a kockája is”, akkor általában azt értjük, hogy “minden negatív $x$ – nak van negatív kockája.”Ezt szimbolikusan$\forall x-nek kell írni ((x
$\bullet$” ha két számnak ugyanaz a négyzete, akkor ugyanaz az abszolút értékük van ” $\forall x\,\forall y ((x^2=y^2)\azt jelenti(\vert x\vert = \vert y\vert))$.
$\bullet$ “ha $x=y$, akkor $x+z=y+z$” kell írni, mint $\forall x\,\forally\,\forall z ((x=y)\magában foglalja (x+z=y+z))$.
$\négyzet$
ha $s$ egy halmaz, akkor a “minden $x$ $s$ megfelel $P(x)$” mondat formálisan$$\forall x ((x\In S)\magában foglalja P(x))$$ az egyértelműség és a rövidség érdekében ezt általában $\forall x\, {\in}\, S\, (P(x))$ – nak írják. Ahhoz, hogy a $\forallx\, {\in}\, S\, (P(x))$ képletet megfelelően megértsük és manipuláljuk, néha”le kell rövidítenünk”, és újra kell írnunk $\forall x ((x\In S)\impliesP(x))$ – ként.
példa 1.2.4
$\bullet$ $\forall x\in (\sqrt x\ge x)$jelentése $\forall x (x\in \magában foglalja \sqrt x\ge x).$
$ \ golyó$ $ \ forall x
$ \ négyzet$
az egzisztenciális kvantor
egy mondat $ \ létezik x\, P (x)$ akkor igaz, ha van legalább egy értéke $x$ (a diskurzus univerzumából), ami $P(x)$ igaz.
példa 1.2.5
$\bullet$ $\létezik x (x \ge x^2)$igaz, mivel $x=0$ a megoldás. Sokan mások is vannak.
$\bullet$ $\exists x\,\exists y (x^2+y^2=2xy)$ igaz, mivel a$x=y=1$ a sok megoldás egyike.
$\négyzet$
a “néhány” forma. Az existentialquantifier gyakran a következő kontextusban fordul elő: $$ \ exists x\(P(x)\land Q(x)),$$ amely olvasható: “néhány $x$ kielégíti $P(x)$ alsoisatisfies $Q (x)$.”
példa 1.2.6
$ \ bullet$ $ \ létezik x\, \ hbox {($x$ professzor $ \ land$ $ x $ republikánus)}$, azaz “néhány professzor republikánus.”
$ \ bullet$ $ \ létezik x\, \ hbox {($x$ egy prímszám $ \ land$ $ x $ páros)}$, azaz ” néhány prímszám páros.”
$\négyzet$
először úgy tűnhet, hogy” néhány $x$ kielégíti $P(x)$kielégíti $Q(x)$ ” le kell fordítani$$\létezik x (P(x)\magában foglalja Q(x)),$$, mint az univerzális kvantor. Hogy miért nem működik,tegyük fel, hogy $P(x)=\hbox{“$x$ egy alma”}$ és $Q(x)=\hbox{“$x$ anorange.”} $ A “néhány alma narancs” mondat bizonyosanhamis, de$$ \ létezik x(P(x)\Q (x))$$igaz. Ehhez tegyük fel, hogy $x_0$ egy bizonyos narancs. Ekkor$P(x_0)\azt jelenti,hogy Q (x_0)$ értéke $\hbox{F}\azt jelenti, \hbox{T}$, ami t, és az egzisztenciális kvantor teljesül.
a “néhány” forma rövidítéseit használjuk, hasonlóan az”összes” forma rövidítéseihez.
példa 1.2.7
$ \ bullet$ $ \ exists x
$ \ bullet$ $ \exists x \ in (2x^2 + x =1)$ A $ \exists x ((x\in )\land (2x^2+x=1)) $ $ \ square$
ha a $ \ forall$ megfelel az “all” – nek és a $\exists$ megfelel a “some” – nak, akkor szükségünk van egy harmadik kvantorra, hogy megfeleljen a “none” – nak? Amint azt az alábbiak mutatják, erre nincs szükség:
példa 1.2.8
$\bullet$ “no demokraták republikánusok,” lehet írni $\forall x$ ($x$ egy demokrata $\azt jelenti,$ $x$ nem republikánus).
$\bullet$ “a háromszögek nem téglalapok,” írható $\forall x$ ($x$ egy háromszög $\azt jelenti, hogy$ $x$ nem téglalap).
$\négyzet$
általában a “no $x$ kielégítő $P(x)$ megfelel $Q(x)$” lehet írni $$\forall x (P(x)\azt jelenti, \lnot Q(x)).$$(Lehet, hogy csoda, hogy miért nem használjuk $ \ lnot \ létezik x\, (P(x)\föld Q (x))$. Valójában, mi lehetne-ez egyenértékű $ \ forall x (P(x)\azt jelenti, \lnot Q (x))$.)
gyakorlatok 1.2
ezekben a problémákban feltételezzük, hogy a diskurzus univerzuma valódi számok.
Ex 1.2.1 a következőket fejezzük ki képletekként, amelyek kvantorokat tartalmaznak:
a) A negyedik hatványra emelt bármely szám nem negatív.
b) a harmadik hatványra emelt szám negatív.
c) egy szög szinusza mindig $ + 1$ és $-1$között van.
d) A szög secantja soha nem szigorúan $+1$ és $-1$között van.
Ex 1.2.2 tegyük fel, hogy $X$ és $Y$ halmazok. Fejezze ki a következőket képletekként, amelyek kvantorokat tartalmaznak.
a) minden eleme $X$ egy eleme $Y$.
b)A $X$ egy eleme $Y$.
c)A $X$ néhány eleme nem $Y$elem.
d) nem eleme $X$ egy eleme $Y$.
Ex 1.2.3 Emlékezzünk vissza (a kalkulusból), hogy egy $f$ függvény növekszik, ha$$ \forall a \forall b (a
a) $f$ csökken.
b) $f$ állandó.
c) $f$ nulla.
Ex 1.2.4 szimbolikusan fejezze ki a következő törvényeket:
a) A szorzás kommutatív törvénye
b) a szorzás asszociatív törvénye
c) az elosztó törvény
Ex 1.2.5 a következő mondatok igazak vagy hamisak?
a) $\forall x \forall y (x
b) $\forall x \forall y \forall z\ne 0 (xz=yz\magában foglalja x=y)$
c) $\létezik x
d) $\létezik x \létezik y \létezik z (x^2+y^2+z^2=2XY-2+2z)$
Ex 1.2.6 tegyük fel, hogy $P(x)$ és $Q (y)$ képletek.
a) $ \ forall x \ forall y (P (x) \ azt jelenti, Q (y))$egyenértékű $\forall x(P(x)) \azt jelenti, \forall y(Q(y))$?
b) $ \ létezik x \ létezik y(P(x)\föld Q(y))$egyenértékű $\létezik x(P(x)) \föld \létezik y(Q (y))$?