Calculus II-További Információk a szekvenciákról
mobil Értesítés megjelenítése összes jegyzet megjelenítése összes jegyzet elrejtése
4-2. szakasz : Bővebben a szekvenciákról
az előző részben bemutattuk a szekvencia fogalmát, és beszéltünk a szekvenciák határairól, valamint a szekvenciák konvergenciájának és divergenciájának gondolatáról. Ebben a részben szeretnénk egy gyors pillantást vetni néhány szekvenciát tartalmazó ötletre.
kezdjük néhány terminológiával és definícióval.
adott sorrendben \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) van a következő.
- az IF \({a_n} < {a_{n + 1}}\) szekvencia növekedését hívjuk minden \(n\) – re.
- a szekvenciát csökkenő if({a_n} > {a_{n + 1}}\) – nek nevezzük minden\ (n\) – re.
- ha \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) egy növekvő szekvencia vagy \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) egy csökkenő szekvencia, akkor monotonikusnak nevezzük.
- ha létezik olyan \(m\) szám, hogy \(m \le {a_n}\) minden \(n\) – re azt mondjuk, hogy a sorozat alul van korlátozva. A \(m\) számot néha a szekvencia alsó határának nevezik.
- ha létezik olyan \(M\) szám, hogy \({a_n} \le M\) minden \(n\) – re azt mondjuk, hogy a szekvencia fent határolt. A \(M\) számot néha a szekvencia felső határának nevezik.
- ha a szekvencia mind alul, mind fent határolt, akkor a szekvencia határoltnak nevezzük.
vegye figyelembe, hogy ahhoz, hogy egy szekvencia növekedjen vagy csökkenjen, minden \(n\) esetében növekedésnek/csökkenésnek kell lennie. Más szavakkal, az a szekvencia, amely három kifejezésre növekszik, majd a többi kifejezésre csökken, nem csökkenő szekvencia! Vegye figyelembe azt is, hogy a monoton szekvenciának mindig növekednie kell, vagy mindig csökkennie kell.
mielőtt továbblépnénk, gyorsan meg kell határoznunk a fenti és/vagy alatti szekvencia határait. Az alsó határokról fogunk beszélni, de ugyanolyan könnyen elérhetjük a felső határokat is.
egy szekvencia korlátos, ha találunk olyan \(m\) számot, hogy \(m \le {a_n}\) minden \(n\) – re. Ne feledje azonban, hogy ha találunk egy számot \(m\) használni egy alsó korlátot, akkor bármely \(m\) – nél kisebb szám is alsó határ lesz. Továbbá, csak azért, mert találunk egy alsó határt, ez nem jelenti azt, hogy nem lesz “jobb” alsó határ a szekvenciához, mint amit találtunk. Más szavakkal, végtelen számú alsó határ van egy olyan sorozat számára, amely az alábbiakban határolt, egyesek jobbak lesznek, mint mások. Az osztályomban minden, amit keresek, alsó határ lesz. Nem feltétlenül kell a legjobb alsó határ, csak egy szám, amely a szekvencia alsó határa lesz.
nézzünk meg néhány példát.
- \(\bal \ { {- {n^2}} \ jobb\} _ {n = 0}^ \ infty \)
- \(\bal\ { {{{\bal( { – 1} \jobb)}^{n + 1}}}\jobb\}_{n = 1}^ \ infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \)
összes megoldás megjelenítése összes megoldás elrejtése
ez a sorrend csökkenő (és ezért monoton) sorrend, mert,
\
minden \(n\) esetén.
Továbbá, mivel a szekvencia kifejezések nulla vagy negatívak lesznek, ez a szekvencia fent van korlátozva. Bármilyen pozitív számot vagy nullát használhatunk kötöttnek, \(M\), azonban szokásos a lehető legkisebb kötöttet választani, ha tudjuk, és ez egy szép szám. Tehát a \(M = 0\) – t választjuk, mivel
\
ez a szekvencia nem korlátozott az alábbiakban, mivel mindig a \(n\) elég nagy figyelembe vételével bármilyen potenciál alá kerülhetünk. Ezért, míg a szekvencia felette van korlátozva, nincs korlátozva.
mellékesen megjegyezhetjük azt is, hogy ez a sorrend eltér (\(- \infty\) – ig, ha specifikusak akarunk lenni).
b \(\left\ {{{\\left ({- 1} \right)}^{n + 1}}}\right\}_{n = 1}^ \ infty\) megoldás megjelenítése
ebben a sorrendben a szekvencia kifejezések váltakoznak 1 és -1 között, így a szekvencia nem növekvő szekvencia vagy csökkenő szekvencia. Mivel a szekvencia nem növekvő vagy csökkenő szekvencia, nem monoton szekvencia.
a szekvencia azonban korlátozott, mivel fent 1-gyel, alul pedig -1-gyel van határolva.
ismét megjegyezzük, hogy ez a szekvencia is eltérő.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \) Show Solution
ez a sorrend egy csökkenő (tehát monoton) szekvencia, mivel
\
ebben a sorrendben a kifejezések mind pozitívak, ezért alul nullával határolják. Továbbá, mivel a szekvencia csökkenő szekvencia, az első szekvencia kifejezés lesz a legnagyobb, így láthatjuk, hogy a szekvenciát fent is \(\frac határolja{2}{{25}}\). Ezért ez a szekvencia korlátozott.
gyors limitet is vehetünk, és megjegyezzük, hogy ez a szekvencia konvergál, és a határa nulla.
most dolgozzunk még néhány példát, amelyek célja annak biztosítása, hogy ne szokjunk túlságosan az intuíciónkra támaszkodni ezekkel a problémákkal kapcsolatban. Amint azt az előző részben megjegyeztük, intuíciónk gyakran félrevezethet minket néhány olyan fogalommal, amelyet ebben a fejezetben megvizsgálunk.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{n}{{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^ \ infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
összes megoldás megjelenítése összes megoldás elrejtése
először a példa korlátozott részével kezdjük, majd visszatérünk és foglalkozunk a növekvő/csökkenő kérdéssel, mivel ez az, ahol a diákok gyakran hibáznak az ilyen típusú szekvenciákkal.
először is, \(n\) pozitív, így a szekvencia kifejezések mind pozitívak. A szekvenciát tehát alul nulla határolja. Hasonlóképpen, minden szekvencia kifejezés egy szám hányadosa osztva egy nagyobb számmal, így garantáltan kevesebb, mint egy. A szekvenciát ezután fent egy határolja. Tehát ez a sorrend korlátozott.
most gondoljunk a monoton kérdésre. Először is, a hallgatók gyakran elkövetik azt a hibát, hogy azt feltételezik, hogy mivel a nevező nagyobb, a hányadosnak csökkennie kell. Ez nem lesz mindig így, és ebben az esetben tévednénk. Ez a sorrend növekszik, ahogy látni fogjuk.
ennek a szekvenciának a növekvő/csökkenő jellegének meghatározásához az I. kalkulus technikákhoz kell folyamodnunk. Először vegye figyelembe a következő függvényt és annak deriváltját.
\
láthatjuk, hogy az első derivált mindig pozitív, ezért az I számításból tudjuk, hogy a függvénynek ezután növekvő függvénynek kell lennie. Szóval, hogyan segít ez nekünk? Figyeljük meg, hogy
\
Ezért mivel\ (n < n + 1\) és\(F \left( x\ right)\) növekszik, azt is mondhatjuk, hogy
\
más szóval, a szekvenciának növekednie kell.
vegye figyelembe, hogy most, hogy tudjuk, hogy a szekvencia növekvő szekvencia, jobb alsó határt kaphatunk a szekvencia számára. Mivel a szekvencia növekszik, a szekvencia első tagjának a legkisebb tagnak kell lennie, ezért mivel \(n = 1\) – től indulunk, használhatjuk a \(\frac{1}{2}\) alsó határát is ehhez a szekvenciához. Fontos megjegyezni, hogy bármely szám, amely mindig kisebb vagy egyenlő az összes szekvencia kifejezéssel, alsó határ lehet. Egyesek azonban jobbak, mint mások.
egy gyorskorlát azt is elmondja nekünk, hogy ez a szekvencia 1-es határértékkel konvergál.
mielőtt továbblépnénk a következő részre, van egy természetes kérdés, amelyet sok hallgató ezen a ponton feltesz. Miért használtuk a kalkulust a szekvencia növekvő/csökkenő természetének meghatározására, amikor csak néhány \(n\) – t csatlakoztathattunk volna, és gyorsan meghatározhattuk ugyanazt a dolgot?
a válasz erre a kérdésre a példa következő része!
b \(\left\{ {\displaystyle \frac {{{\displaystyle\frac {{\n^3}}} {{{n^4} + 10000}}} \ right\}_{n = 0}^ \ infty\) Show Solution
ez egy rendetlen megjelenésű sorozat, de annak kell lennie ahhoz, hogy ennek a résznek a lényege legyen.
először is vegyük észre, hogy az előző részhez hasonlóan a szekvencia kifejezések mind pozitívak, és mind kevesebbek lesznek, mint egy (mivel a számláló garantáltan kisebb, mint a nevező), ezért a szekvencia korlátozott.
most térjünk át a növekvő/csökkenő kérdésre. Az utolsó problémához hasonlóan sok diák megvizsgálja a számláló és a nevező kitevőit, és ennek alapján határozza meg, hogy a szekvencia kifejezéseknek csökkenniük kell.
ez azonban nem csökkenő sorrend. Vessünk egy pillantást az első néhány kifejezésre, hogy ezt lássuk.
\
ennek a sorozatnak az első 10 kifejezése mind növekszik, így a szekvencia egyértelműen nem lehet csökkenő szekvencia. Emlékezzünk arra, hogy egy szekvencia csak akkor csökkenhet, ha az összes kifejezés csökken.
most nem követhetünk el még egy gyakori hibát, és feltételezhetjük, hogy mivel az első néhány kifejezés növekszik, akkor az egész sorozatnak is növekednie kell. Ha ezt tennénk, akkor is tévednénk, mivel ez szintén nem növekvő sorrend.
ez a szekvencia nem csökken vagy növekszik. Az egyetlen biztos módja annak, hogy ezt az, hogy nem a számítás I megközelíteni növekvő/csökkenő funkciókat.
ebben az esetben szükségünk lesz a következő függvényre és annak deriváltjára.
\
ennek a függvénynek a következő három kritikus pontja lesz,
\{{30000}} \KB 13.1607, \ hspace{0.25 in}\,\,\,\, x = – \ sqrt{{30000}}\ KB – 13.1607\]
miért kritikus pontok? Ne feledje, hogy ezek az egyetlen helyek, ahol a származék megváltozhat jel! A sorrendünk \(n = 0\) – nél kezdődik, így figyelmen kívül hagyhatjuk a harmadikat, mivel az kívül esik a \(n\) értékein, amelyeket figyelembe veszünk. Néhány \(x\) tesztérték csatlakoztatásával gyorsan megállapíthatjuk, hogy a derivált pozitív \(0 < x < \sqrt{{30000}} \KB 13.16\), így a függvény növekszik ebben a tartományban. Hasonlóképpen láthatjuk, hogy a derivált negatív \(x > \sqrt{{30000}} \KB 13.16\), így a függvény csökken ebben a tartományban.
tehát a sorrendünk \(0 \le n \le 13\) esetén növekszik, \(n \ge 13\) esetén pedig csökken. Ezért a funkció nem monoton.
végül megjegyezzük, hogy ez a sorozat is konvergál, és nulla határértéke van.
Tehát, amint az utolsó példa megmutatta, óvatosnak kell lennünk a szekvenciákkal kapcsolatos feltételezések megfogalmazásakor. Intuíciónk gyakran nem lesz elegendő a helyes válaszhoz, és soha nem tudunk feltételezéseket tenni egy szekvenciáról az első néhány kifejezés értéke alapján. Amint az utolsó rész megmutatta, vannak olyan szekvenciák, amelyek néhány kifejezésre növekednek vagy csökkennek, majd ezt követően irányt változtatnak.
vegye figyelembe azt is, hogy itt az “első néhány kifejezést” mondtuk, de teljesen lehetséges, hogy egy sorozat csökken az első 10 000 kifejezésnél, majd a fennmaradó kifejezéseknél növekedni kezd. Más szavakkal, nincs \(n\)” mágikus ” értéke, amelyre csak annyit kell tennünk, hogy ellenőrizzük ezt a pontot, és akkor tudni fogjuk, mit fog tenni az egész sorozat.
az egyetlen alkalom, amikor el tudjuk kerülni az I. kalkulus technikák használatát a szekvencia növekvő/csökkenő természetének meghatározására, az olyan szekvenciákban történik, mint az 1.példa (c) része. Ebben az esetben a növekvő \(n\) csak megváltoztatta (valójában növelte) a nevezőt, így ennek alapján tudtuk meghatározni a szekvencia viselkedését.
a 2. példában azonban a \(n\) növelése növelte mind a nevezőt, mind a számlálót. Ilyen esetekben nincs mód meghatározni, hogy melyik növekedés “nyer”, és a szekvencia kifejezések növekedését vagy csökkenését okozza, ezért a kérdés megválaszolásához az I. kalkulus technikákhoz kell folyamodnunk.
majd zárja ki ezt a részt egy szép tétel, hogy fogjuk használni néhány bizonyíték később ebben a fejezetben.
tétel
ha \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) határolt és monoton, akkor \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) konvergens.
vigyázzon, hogy ne használja vissza ezt a tételt. Nem azt mondja, hogy ha egy szekvencia nem korlátozott és/vagy nem monoton, akkor divergens. A 2b példa jó példa erre. A példa sorrendje nem volt monoton, de konvergál.
vegye figyelembe azt is, hogy ennek a tételnek több változatát is elkészíthetjük. Ha a \(\left \ { {{{a_n}} \ right\}\) fent határolt és növekvő, akkor konvergál, és hasonlóképpen, ha \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) alul határolt és csökken, akkor konvergál.