Cholesky bomlás R példával

BY admin
|

pozitív-határozott mátrix lebontásának módszere. A pozitív-határozott mátrixot szimmetrikus mátrixként definiáljuk, ahol minden lehetséges vektorra \(x\), \(x ‘ AX > 0\). A Cholesky-bomlás és más bomlási módszerek fontosak, mivel gyakran nem kivitelezhető a mátrixszámítások explicit végrehajtása.

a Cholesky-bomlás, más néven Cholesky-faktorizáció, a pozitív definitematrix lebontásának módszere. Az apozitív-határozott mátrixot szimmetrikus mátrixként definiáljuk, ahol mindenkineklehetséges Vektorok \(x\), \(x ‘ AX > 0\). A Cholesky-féle bomlási és egyéb bomlási módszerek fontosak, mivel gyakran nem kivitelezhető a mátrixszámítások explicit végrehajtása. A Choleskydecomposition néhány alkalmazása magában foglalja a lineáris egyenletrendszerek megoldását, a Monte Carlo szimulációt és a Kalman szűrőket.

Cholesky bomlási tényezők pozitív-definit mátrix \(a\) A:

$$ a = LL^T$$

hogyan lehet lebontani egy Mátrixot Cholesky bomlással

számos módszer létezik a mátrix bomlásának kiszámítására theCholesky megközelítéssel. Ez a bejegyzés hasonló megközelítést alkalmaz. végrehajtását.

a mátrix faktorálásának lépései a következők:

  1. számítás \(L_1 = \ sqrt{a_{11}}\)

  2. mert \(k = 2, \ pontok, n\):

  3. keresse meg \(l_{k-1} l_k = a_k\) a \(l_k\)

  4. \(l_{kk} = \ sqrt{a_{kk} – l_k^T l_k}\)
  5. \(L_k =
    \ begin{bmatrix} L_{k-1} & 0 \ \ l_k^T & l_{kk} \ end{bmatrix}

    \)

példa a Cholesky bomlásra

Tekintsük a következő mátrixot \(a\).

$$a = \ begin{bmatrix} 3 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{bmatrix}$$

a fenti \(a\) mátrix a könyv 2.16 gyakorlatából származik Alvin Rencher Módszereimultivariate Analysis.

Kezdje a \(L_1\) kereséssel.

$ $ L_1 = \ sqrt{a_{11}} = \ sqrt{3} = 1.732051 $$

következő találunk \(l_2\)

$$ l_2 = \ frac{a_{21}} {L_1} = \ frac{4} {\sqrt{3}} = 2.309401 $$

ezután \(l_{22}\) kiszámítható.

$ $ l_{22} = \ sqrt{a_{22} – l_2^T l_2} = \ sqrt{8 – 2.309401^2} = 1.632993 $$

most megvan a \(L_2\) mátrix:

$$L_2 = \ begin{bmatrix} L_1 & 0 \ \ l_2^T & l_{22} \ end{bmatrix} = \ begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 \ end{bmatrix}$$

mivel a mátrix \(3 \szorozva 3\), csak még egy iterációra van szükségünk.

\ (L_2\) kiszámításával \(l_3\) megtalálható:

$$ l_3 = \ frac{a_3}{L_2} = a_3 L_2^{-1} = \ begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\vége{bmatrix}^{-1} \ kezdete{bmatrix} 3 \ \ 6 \ vége{bmatrix}$$
$$l_3 = \ {bmatrix} kezdete 1.7320508 \ \ 1.224745 \ {bmatrix vége}$$

\(l_{33}\) ezután megtalálható:

$$ l_{33} = \sqrt{a_{33} – l_3^T l_3} = \sqrt{9 – \begin{bmatrix}1.7320508 & 1.224745\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1.7320508 \\ 1.224745 \ vége{bmatrix}} = 2.12132 $$

ami megadja nekünk a\ (L_3\) mátrixot:

$$L_3 = \ begin{bmatrix} 1.7320508 & 0 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 & 0 \\ 1.7320508 & 1.224745 & 2.12132\end{bmatrix}$$

ezután a\ (L_3\) mátrix tekinthető megoldásnak. A dekompozíció átültetése megváltoztatja a mátrixot egy felső háromszög mátrixba.

Cholesky bomlás r

a chol() függvény Cholesky bomlást hajt végre apozitív-határozott mátrixon. A \(A\) Mátrixot a következőképpen határozzuk meg.

A = as.matrix(data.frame(c(3,4,3),c(4,8,6),c(3,6,9)))colnames(A) <- NULLA
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

ezután számolja be a Mátrixot a chol() függvénnyel.

A.chol <- chol(A)A.chol
## ## 1.732051 2.309401 1.732051## 0.000000 1.632993 1.224745## 0.000000 0.000000 2.121320

a chol() függvény egy felső háromszög mátrixot ad vissza. A lebontott mátrix átültetése alacsonyabb háromszög mátrixot eredményez, mint a fenti eredményünkben.

t(A.chol)
## ## 1.732051 0.000000 0.00000## 2.309401 1.632993 0.00000## 1.732051 1.224745 2.12132

a fenti eredményünk megegyezik a chol() függvény kimenetével.

megmutathatjuk az identitást is \(A = LL^T\) az eredménnyel.

t(A.chol) %*% A.chol
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

összefoglaló

a Cholesky-bomlást gyakran alkalmazzák, ha a mátrix közvetlen kiszámítása nem optimális. A módszert számos alkalmazásban alkalmazzák, mint például a többváltozós analízis, viszonylaghatékony jellege és stabilitása miatt.

(2011). Letöltve innen: http://www.seas.ucla.edu/~vandenbe/103 / lectures / chol.pdf

algoritmus a Cholesky bomlásához. Letöltve innen: http://www.math.sjsu.edu/~foster / m143m / cholesky.pdf

Cholesky bomlás (2016). A Wikipédián. Letöltve innen: https: / / hu.Wikipédia.org / wiki / Cholesky_decomposition

Rencher, A. C. (2002). A többváltozós elemzés módszerei. New York: J. Wiley.

  • több csoport másodfokú diszkrimináns analízise
  • két csoport másodfokú diszkrimináns analízise
  • több csoport diszkrimináns analízise
  • lineáris diszkrimináns analízis több csoport osztályozására
  • lineáris diszkrimináns analízis két csoport osztályozására