fixpontos tétel
fixpontos tétel, a matematika bármely különféle tétele, amely egy halmaz pontjainak ugyanazon halmaz pontjaiba történő átalakításával foglalkozik, ahol bizonyítható, hogy legalább egy pont rögzített marad. Például, ha minden valós szám négyzet, akkor a nulla és az egy számok fixek maradnak; míg az átalakulás, amelynek során minden számot eggyel megnövelnek, nem hagy rögzített számot. Az első példa, az egyes számok négyszögesítéséből álló transzformáció, ha a nullánál nagyobb és egynél (0,1) kisebb számok nyitott intervallumára alkalmazzuk, szintén nincs rögzített pontja. A helyzet azonban megváltozik a zárt intervallumban, a végpontokkal együtt. A folyamatos átalakulás olyan, amelyben a szomszédos pontok más szomszédos pontokká alakulnak át. (Lásd a folytonosságot.) Brouwer fixpontos tétele kimondja, hogy a zárt lemez (beleértve a határt is) bármilyen folyamatos átalakulása önmagába legalább egy pontot rögzít. A tétel igaz a pontok folyamatos transzformációira is zárt intervallumban, zárt golyóban vagy absztrakt magasabb dimenziós halmazokban, amelyek hasonlóak a golyóhoz.
a fixpontos tételek nagyon hasznosak annak kiderítésére, hogy van-e megoldás egy egyenletre. Például a differenciálegyenletekben egy differenciáloperátornak nevezett transzformáció átalakítja az egyik függvényt a másikba. A differenciálegyenlet megoldásának megtalálása ezután úgy értelmezhető, hogy egy függvényt változatlan formában találunk egy kapcsolódó transzformációval. Figyelembe véve ezeket a funkciókat, mint pontokat, és meghatározza a gyűjtemény a funkciók analóg a fenti gyűjteménye pontok, amely egy lemez, tételek analóg Brouwer fixpontos tétel bizonyítható differenciálegyenletek. A leghíresebb ilyen típusú tétel a Leray-Schauder-tétel, amelyet 1934-ben publikált a francia Jean Leray és a Pole Julius Schauder. Az,hogy ez a módszer megoldást eredményez-e (azaz megtalálható-e rögzített pont), a differenciál operátor pontos jellegétől és azon függvények gyűjteményétől függ, amelyekből megoldást keresnek.