kalkulus
ebben a témában megvizsgáljuk, hogyan lehet integrálni bizonyos kombinációkat, amelyek magukban foglalják a trigonometrikus függvények termékeit és hatásköreit.
\(8\) eseteket veszünk figyelembe.
A szinusz és koszinusz termékeinek integráljainak különböző argumentumokkal történő kiértékeléséhez a
integrálokat alkalmazzuk a \({\large\Int\normalsize} {{\sin^m}x\, {\cos^n}xdx}\)
itt feltételezzük, hogy az \(m\) és \(n\) hatványok nem negatív egészek.
az űrlap integráljának megkereséséhez használja a következő helyettesítéseket:
A \(\int {{{\sin }^n}xdx} \) és \(\int {{{\cos }^n}xdx} \) típusú integrálok redukciós képletekkel értékelhetők
\
\
\({\large\Int\normalsize} {{\tan^n}xdx} \)
az integrandus ereje csökkenthető a trigonometrikus Azonosság \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) és a redukciós képlet segítségével
\
a \({\large\Int\normalsize} {{{\cot }^n}xdx} \)
az integrandus ereje csökkenthető a trigonometrikus azonossággal \(1 + {\cot ^n}x = {\csc ^n}x\) és a redukciós képlet
\
\({\large\Int\normalsize} {{\sec^n}xdx} \)
az ilyen típusú integrálok egyszerűsíthetők a redukciós képlet segítségével:
\
\({\large\Int\normalsize} {{\csc^n}xdx} \)
az előző példákhoz hasonlóan az ilyen típusú integrálok a következő képlettel egyszerűsíthetők
\
az űrlap Integráljai \({\large \ Int \ normalsize} {{\tan^m}x\, {\sec^n}xdx}\)
az űrlap Integráljai \({\large \ Int \ normalsize} {{\cot^m}x\, {\csc^n}xdx} \)
megoldott problémák
kattintson vagy koppintson egy problémára a megoldás megtekintéséhez.
1.példa.
Számítsa ki az integrál \({\large\Int\normalsize} {{\sin^3}xdx} értéket.\)
megoldás.
legyen \(u = \cos x,\) \(du = -\sin xdx.\ ) Majd
2.Példa.
értékelje az integrál \({\large\Int\normalsize} {{\cos^5}xdx} értéket.\)
megoldás.
a helyettesítés \(u = \sin x,\) \(du = \cos xdx\) és az identitás \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x,\) használatával megkapjuk a
3.példát.
keresse meg az integrál \({\large\Int\normalsize} {{\sin^6}xdx}.\)
megoldás.
identitások segítségével \ ({\sin ^2}x = {\large\frac{{1 – \cos 2x}}{2}\normalsize}\) és \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\) írhatjuk:
kiszámítjuk az integrálokat az utóbbi kifejezésben.
\
az integrál megtalálásához \({\large\Int\normalsize} {{\cos^3}2xdx},\) helyettesítjük \(u = \sin 2x,\) \(du=\) \ (2\cos 2xdx.\ ) Akkor
ezért a kezdeti integrál
4.példa.
keresse meg az integrál \(\int {{{\sin }^2}x\,{{{\cos }^3}x}dx}.\)
megoldás.
a koszinusz ereje páratlan, ezért helyettesítjük
\
átírjuk az integrál szempontjából \(\sin x\) szerezni:
példa 5.
Számítsa ki az integrál \({\large\Int\normalsize} {{{\sin }^2}x\,{{\cos }^4}xdx}.\)
megoldás.
írhatunk:
\
az integrandust az identitások felhasználásával konvertáljuk
\
ez
6.példát eredményez.
értékelje az integrál \(\int {{{\sin }^3}x\,{{\cos }^4}xdx} értéket.\)
megoldás.
mivel a szinusz ereje páratlan, a helyettesítést használjuk
\
az integrál a következőképpen van írva
\
A Pitagoraszi identitás alapján,
\
ezért
7.példa.
értékelje az integrál \(\int {{{\sin }^3}x\,{{\cos }^5}xdx} értéket.\)
megoldás.
látjuk, hogy mindkét hatvány páratlan, tehát helyettesíthetjük \(u = \sin x\) vagy \(u = \cos x.\ ) A legkisebb kitevő kiválasztása, van
\
az integrál formája
\
A Pitagorasz identitás használata,
\
írhatunk
8.példa.
értékelje az integrál \(\int {{{\sin }^3}x\,{{\cos }^3}xdx} értéket.\)
megoldás.
\
A Pitagoraszi identitás alapján,
\
tehát megkapjuk