Mit tanultam sok éves tanítás kalkulus első Évesfőiskolai hallgatók

mit tanultam sok éves tanítás kalkulus

elsőéves főiskolai hallgatók

AMTNJ konferencia

a matematika nyomon követése: a középiskolai és főiskolai matematika közötti szakadék áthidalása

január 14, 2005

Brookdale Közösségi Főiskola

József G. Rosenstein (Rutgers-Newbrunswick)

miért van olyan sok elsőéves diák nehézségekkalkulus, amikor úgy tűnik, hogy jól felkészültek?

amikor utoljára tanítottam az első félévben a kalkulust, az osztály 61 hallgatójának 41% – a végül C vagy rosszabb fokozattal járt.

itt van még néhány adat. Az osztály tanulóinak 82% – a legalább egy szemesztert végzett a középiskolában, 73% – uk pedig legalább egy évet a középiskolában. (35% – nak még egy éve is volt AP Kalkulusa.) Minden szempontból ez egy csoportjól felkészült a főiskolai kalkulusra.

a rossz hír az, hogy ha összerakjuk az adatokat, akkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a diákjaim legalább 23% – a vett részt a középiskolában, de nem sikerült jobban teljesítenie, mint a C a főiskolai kalkulus tanfolyamon.

miért van olyan sok diák, aki a középiskolában jelentős matematika tanfolyamokat végzett, de sikertelen a kalkulusban?

ebben a rövid előadásban háromféle kérdést fogok megvitatni –tartalom, folyamat és személyes kérdések – körülbelül 15 perc alatt, majd megnyitom a szót a vitához.

A “tartalom” alatt a fő kérdés nem az, hogy a diákok nem értik a kalkulus fogalmait,hanem az, hogy nincs lehetőségük aritmetikai és algebra.

egy diák egyszer megfigyelte, hogy egy adott probleminvolt, amit ő az úgynevezett “intenzív algebra” – ami alatt azt értette, hogy meg kellett rajzolni egy csomó az ő algebra tudás, hogy végezze el a számításokat asingle probléma. Ez például akkor történik, amikor a hallgatóknak meg kell találniuk az f(x) =1/(x+3) függvény deriváltját a definícióból – vagyis az átláthatósághoz hasonlóan meg kell találniuk a különbség hányadosának határát, mivel h nullára megy. Gondoljon arra, hogy milyen lépéseket kell tenniemegoldja ezt a problémát. Szükségük van:

írjon egy helyes kifejezést f (x + h) – re, tekintettel az egyenlőségref(x);

kombináljon két törtet a számlálóban egy egyfrakcióvá;

kombinálja a kifejezések összegét és különbségét;

alakítson át egy törtet, amelynek frakciója van a számlálóban, olyanra, amely nem;

keresse meg a számláló és a nevező közös tényezőjét, és törölje megfelelően;

vegyen egy korlátot, és fejezze ki az eredményt a megfelelő formában.

nem csak képesnek kell lenniük arra, hogy ezeket a lépéseket külön-külön elvégezzék, hanem egy működő magas szintű felügyeleti rendszerre is szükségük van, amely látja a “nagy képet”, amely részt vesz a derivált megtalálásában, és elmondja nekik, mit kell tenniük minden lépésben.

mégis sokan még mindig olyan hibákat követnek el, amelyek középkor óta fennállnak – például helytelenül törlik a kifejezések megsértését.

egy ilyen kérdést adnak a félévi és a záró vizsgán, és bár mindannyian tudják, hogy ez az, amit elvárnak tőlük, sokan közülük nem tudják megfelelően elvégezni a feladatot.

amikor az NCTM szabványokról beszélünk, gyakran úgy viselkedünk, mintha a folyamatszabványok felváltották volna a tartalmi szabványokat, hogy a megértés felváltotta a létesítményt. Ez nem az eset. Szeretnénk összpontosítani reasoningand problémamegoldás, de azt is szeretnénk, hogy a diákok, hogy a megfelelő facility matematikai műveleteket.

milyen létesítmény “megfelelő”? Ez a diáktól függ. Azok, akik a végén figyelembe több félév kalkulus az egyetemen határozottan hátrányos helyzetben vannak, ha vannehézsége aritmetikai és algebra.

másrészt azok, akik valószínűleg nem folytatják a számítástnem lesz szükség intenzív algebrára. De feltételezve, hogy egy adott hallgató ebbe a kategóriába tartozik, végül önbeteljesítő jóslat lehet.

az algebra készségek eltérése. Sokan kritizálták Rutgers ‘ elhelyezés teszt azon az alapon, hogy nem igazodik a szabványok, a ourreform erőfeszítéseket, mivel összpontosít készségek. De el kell mondanom, hogy ez jó mércéje a precalculus és a calculus sikerének, és így volt az elmúlt 20 évben, mióta bevezettük. Méri a hallgatók létesítményét az előfeltételekkel … mert a létesítmény az előfeltételekkel elengedhetetlen a sikerhez ezeken a tanfolyamokon.

megosztom veled személyes tapasztalataimat. Néhány évvel ezelőtt az egyik lányompontosan a precalculus határértéke alatt. Mivel van egy kis befolyásom, be tudtam írni az inprecalculust, azzal érvelve, hogy ha nehézségei vannak, hozzáférhet Ajó oktató. Ez így volt … de ez is hiba volt – végül sok korrepetálást végeztem. Nem volt felkészülve a prekalkulusra.

ez az eltérés vége.

most pontosításra van szükség. Amikor azt mondjuk, hogy az algebra létesítménye elengedhetetlen a számítás sikeréhez, nem csak az algebrai manipulációk szabályainak megtanulására gondolunk. Az Algebra létesítménye azt is jelenti, hogy megértjük a matematikát, amely ezek alapját képeziszabály. Amikor a diákok hibákat követnek el, azok gyakran a matematika félreértésének következményei, és mindannyiunknak több időt kell fordítanunk azoknak a téves elképzeléseknek a feltárására, amelyek ezekhez a hibákhoz vezettek, és segítenünk kell a tanulóknak, hogy pontosabb matematikai megértésekkel helyettesítsék őket. Ez azt jelenti, hogy meg kell vitatni a hibákat az osztályban és a diákokkal egyenként, és nem csak megjelölni a hibáikat a házi feladataikon és a tesztjeiken.

létesítmény algebra azt is jelenti, hogy képes felhívni a one ‘ sentire matematikai tapasztalat, hogy kitaláljuk, egy megfelelő következő lépés aproblem – ez az, amit a fent említett monitoring egy haladás …tudta, mit kell tennie a következő.

ez elvezet minket a “folyamat kérdéseihez”.

mindannyian hajlamosak vagyunk felosztani a tanultakat –részben azért, mert lineárisan találkozunk az új információkkal, és valahol tárolnunk kell őket. De nagyon fontos, hogya tanulás összekapcsolódik. Bármi, amit tanárként tehetünk, hogy kapcsolatot teremtsünk a témák között, hogy a hallgatókat a nagy képre összpontosítsuk, nagyon fontos.

fontos a különböző fogalmakat összekapcsoló példák és házi feladatok megadása, csakúgy, mint a rendszeres kumulatív vizsgálatok elvégzése. Ellenkező esetben a diákok megtanulják, mit kell tudniuk a heti kvízről, majd elfelejtik.

egyes iskolákban a tanulók sikerét azzal jutalmazzák, hogy felmentik őket a félévi és záróvizsgák alól. Úgy vélem, hogy ez a gyakorlat súlyos hiba – a diákok nem kap egy esélyt, hogy húzza össze a különböző darab tudást szereztek. Sőt, nem készíti fel őket aaz Egyetemen rutinszerű kumulatív vizsgálatok. Ezen a vonalon, egy három héttel ezelőtt kiadott jelentés megjegyezte, hogy az AP Kalkulus középiskolában történő elvégzése nem volt előrejelzője a sikernek az egyetemen, bár az AP vizsgán jól sikerült.

segítenünk kell diákjainknak a nagy kép elkészítésében. Ennek egyik része magában foglalja a tudás szétválasztását és integrálását, amint azt már megbeszéltük. De van néhány más szempont is.

az egyik arra ösztönzi a diákokat, hogy többszempontjuk legyen. Például ismerniük kell a függvény gondolatának különböző aspektusait – mint egyenletet,mint szabály, mint grafikon, mint táblázat, mint bemeneti-kimeneti gép–, és képesnek kell lenniük arra, hogy könnyen mozogjanak ezen ábrázolások között.

hasonlóképpen képesnek kell lenniük arra, hogy előre-hátra mozogjanak az algebra és a geometria között. Amikor megvitatják az egyidejű lineáris egyenletek megoldását, fel kell ismerniük, hogy ez ugyanaz, mint azt kérdezni, hogy hol keresztezik két vonal. Amikor egy kvadratikus függvényt adunk meg, képesnek kell lenniük arra,hogy vizualizálják a parabolát, amelyet meghatároz – talán nem az összes részletet, de biztosan tisztában kell lenniük azzal, hogy ez egy parabolát határoz meg, és tudják, hogy felfelé vagy lefelé nyílik-e. Nem csak képesnek kell lenniük egy parabola megjelenítésére, hanem meg kellvalójában csináld. Az egyenletnek és a grafikonnak ugyanazon objektum két nézetének kell lennie.

és amikor megtaláljuk a másodfokú egyenlet megoldásait, képesnek kell lenniük arra, hogy ezt facilityvel lefordítsák a kvadratikus függvény grafikonjára – úgy, hogy ha egy másodfokú függvény gyökerei például 3 +/- sqrt2, akkor képesek legyenek képet alkotni arról, hogy a függvény grafikonja hol keresztezi az x tengelyt.

az első napon az osztály, adok a diákok egy kis törmelék ofpaper – 1/8 egy 8, 5×11 lapot, és kérje meg őket, hogy megtalálják a tangens a szögamelynek szinusz 3/5. Néhány diákrajzoljon egy háromszöget; szinte mindegyikmajd megkapja a helyes választ. A diákok egy része nem rajzol háromszöget; egyikük sem kapja meg a helyes választ.

mivel nem kérem őket, hogy tegyék fel a nevüket a papírokra, nem tudom összekapcsolni a probléma megoldásait az osztályzatukkal a tanfolyamon, de azt hiszem, hogy magas fokú korreláció lenne. Diákok, akik képesek megjeleníteni algebra, aki canmove könnyen algebra geometria és vissza, valószínűleg sikeres incalculus.

a második osztályban beszámolok a diákoknak a kísérlet eredményeiről, és megerősítem a vizualizáció fontosságát. Arra biztatom őket, hogy kapcsolják be a vizualizációs kapcsolót, hogy képet készítsenek a fejükben minden egyes algebrai kifejezésről, amely a könyvükben vagy a táblán található.

rámutatok, hogy egy kép sok információt tartalmazhat. Például, ha képesek vizualizálni és értelmezni a szinusz, koszinusz és tangens függvények grafikonjait, akkor csak három tényre kell emlékezniük – hogy a sin 30 = 6 , a tan 45 =1 és a sin2x + cos2x =1 . Szinte minden mást, amit tudniuk kell a trigonometriáról, ezekből lehet levezetni. Különösen nem kell sok-sok tényt megjegyezniük. Ezt kell tenniük, ha nem értik a képeket. Vannak, akik ezt nehezen hiszik el, és kitartóan próbálnak emlékezni a trigonometrikus függvények sok tényére. Nem csoda, hogy néha ezt érezika fejük tele van.

körülbelül egy tucat kép van, amelyek sokat tartalmaznak az első félév kalkulusából – ha megérted és meg tudod magyarázni, mi van ezekben a képekben, akkor nagyon jól fogsz csinálni a kalkulusban. Ezt ők is nehezen hiszik el.

egy másik kérdés, amelyet röviden megemlítek, az, hogy a hallgatóknak jobban meg kell érteniük, hogy ésszerű-e az általuk generált válasz. Ennek előfeltétele természetesen az, hogy valóban feltegyék maguknak a kérdést, hogy ésszerű-e a válaszuk. Valójában, ha felteszik maguknak a kérdést, valószínűleg megfelelően reagálnak. Tehát a cél az, hogy megkérdezzék őketkérdés – ésszerű ez a válasz?

végül, a diákok kell, hogy az értelemben a matematika ASA nyelvet. A matematikának vannak szavai ésszimbólumok és szabályok a használatukról. Gyakran figyelmen kívül hagyjuk a matematika nyelvtanát, és megengedjük diákjainknak, hogy helytelenül beszéljenek és írjanak matematikát – ez a gyakorlat nem lenne megengedett egy spanyol osztályban. Tehát végül nem használják a szülőket, amikor kellene, és ennek eredményeként mindenféle hibát követnek el. Nem használják az egyenlőségjelet arra, hogy matematikai mondataikban egyenrangú kifejezéseket különítsenek el, és ennek eredményeként a mennyiségek az egyik kifejezésből a másikba vándorolnak. Gyakran nem tudják lefordítani a problémákra adott válaszaikatmatematikai nyelv az angol nyelvre. Ez a kérdés nagyobb figyelmet igényel mindenkinektőlünk.

és most elérkeztünk ahhoz, amit én személyes ügyeknek hívtam. Négy pontot fogok tenni. Az egyik az, hogy sok diák jön a firstsemester kalkulushoz, azt gondolva, hogy már ismerik a kalkulust. Lehet, hogy ez igaz – de csak néhányra igaz. Ez azonban veszélyes feltételezés azok számára, akik úgy vélik, hogy ez nem fog semmit tenni a félév első négy hetében … majd azt találja, hogy túl késő felzárkózni.

kérjük, figyelmeztesse hallgatóit, hogy bár sikeresek lehetnek a tanfolyamon, nem lesznek automatikusan sikeresek az azonos címmel rendelkező tanfolyamon az egyetemen. Bár mindkét tanfolyam ugyanazt az anyagot fedi le, a főiskolai tanfolyam mélyebbre megy.

a második pont az, hogy a hallgatóknak tudniuk kell, hogy leszneka főiskolán kell dolgozniuk. Néhányuk túl sok munka nélkül képes lesz boldogulni – ebben az esetben nehezebb tanfolyamot kellett volna végezniük–, de a legtöbbjüknek teljes keze lesz az általuk végzett tanfolyammal – legyen szó kalkulusról vagy precalculusról vagy algebráról – függetlenül attól, hogy jó osztályzatot kaptak-e ezen a tanfolyamon a középiskolában.

megtanultam, hogy a legjobb előrejelzője egy jó minőségű inCalc 1 kapok egy jó minőségű a legelső vizsga. Nézze meg a diagram adatait. Ez azt mutatja, hogy a hallgatók 86% – A, akik az első vizsgán 70% – ot kaptak, C+ vagy annál jobb fokozatot kaptak a tanfolyamra. Másrészt azoknak csak 17% – a, akikaz első vizsgán kevesebb, mint 70% – ot ért el, C+ vagy jobb fokozatot kapott a tanfolyam. A következetes munka megtérül. Azok, akik jól indulnak és folyamatosan dolgoznak, jól teljesítenek.

diákok az én kalkulus 1 osztályok

1999 Ősz, 2000 Ősz, 2001 ősz, ősz 2002

# a diákok	70% vagy több az első vizsgán	69 vagy kevesebb az első vizsgán	összesen
végső fokozat: C + vagy magasabb	74	21	105
végső fokozat: C vagy alacsonyabb	12	102	114
	86	123	219

86% azok közül, akik az első teszten 70% – ot vagy annál jobbat kaptak, C+ vagy jobb lett a tanfolyamon;Azok 17% – A, akik 69% – ot vagy rosszabbat kaptak az első teszten, C+ vagy jobbat kaptak a tanfolyamon

egy másik dolog, amit az osztály első napján teszek, az, hogy megkérem a tanulókat, hogy reálisan értékeljék, hogy milyen osztályzatot várnak el a tanfolyamon – mindenféle dolgot figyelembe véve -, és ezt egy másik kis papírlapra adják. Minden hallgató kivétel nélkül elvárja, hogy B vagy jobb legyen!

ezt jelentem a második osztály diákjainak, majd bemutatom nekik ezt a táblázatot. Azt mondom nekik, hogy nem kezdhetik úgy a félévet, hogy azt gondolják, hogy mivel ismerik a képleteket néhány származékhoz, ismerik a kalkulust. Azt mondom nekik, hogy el kell kezdeniük a szemesztert a számításon. Talán ez adifferenciát okoz. Azt mondom nekik, hogy mindent megteszek, hogy segítsek mindenkinek abban, hogy megkapja azt a fokozatot, amelyet remél – de végül rajtuk múlik.

ez a harmadik pont, amit szeretnék megfogalmazni – a hallgatóknak meg kell tanulniukhogy felelősséget vállaljanak saját oktatásukért. A középiskolában minden nap látod őket, és ráveheted őket, hogy komolyan vegyék a tanulmányaikat. Ez nagyszerű. De amikor eljutnak az egyetemre, magukra maradnak, és ha még nem tanultak meg felelősséget vállalni az oktatásukért, akkor nehéz időszakuk lesz.

nem tudom, hogyan lehet rávenni őket a felelősségvállalásra, de van egy szerény kísérlet, amelyet megpróbálhat. Mondja meg nekik, hogy a következő kettőre nem gyűjt feladatokat.hét. Ezután adjon nekik egy vizsgát aanyag. Néhányan közülük nem fogják elvégezni a feladatokat, és rosszul teljesítenek a vizsgán. Talán a teljesítményük ezen a vizsgálaton azt fogja közvetíteni nekik, hogy nem kellett volna úgy értelmezni, hogy nem kell megtenniük a házi feladatot.

az oktatásért való felelősségvállalás másik szempontja a segítség kérése és a rendelkezésükre álló lehetőségek kihasználása. A diákjaim kevesebb mint 20% – a jön el hozzám, annak ellenére, hogy rendszeresen bátorítom őket. A diákjaim kevesebb mint 20% – A küld nekem e-mailt a kérdéseivel, bár azt mondom nekik, hogy valószínűleg néhány órán belül választ kapnak. Bár a hallgatóim egyharmada D-vel vagy F-vel fog végződni, közülük kevesen keresik meg a számukra elérhető különféle típusú segítséget.

a legtöbb hallgató még nem tanulta meg, hogy rendben van, ha segítséget kérnek – nem tanulták meg, hogy ha nehézségeik vannak egy tanfolyamon, akkor a lehető leghamarabb segítséget kell kérniük. Tudniuk kell, hogy a várakozás nem jóstratégia. Talán az, hogy elmondod nekik, változást hoz.

ezzel elértem a megjegyzéseim végét. Beszéltem egy kicsit a tartalmi kérdésekről,a folyamatokról és a személyes kérdésekről, amelyek zavarják a diákok sikerét a precalculus és a calculus tanfolyamokon, és adtam néhány javaslatot arra vonatkozóan, hogyan segíthet felkészíteni a diákokat a sikerük akadályainak leküzdésére.

Köszönöm szépen a figyelmet, és most megvitatjuk ezeket a kérdéseket.