Sajátértékek, sajátvektorok és sajátendekompozíció

mit kell tudni a téma megértéséhez?

• a lineáris algebra alapjai

szakaszok

• Sajátmi?
• Eigendecomposition
• példa
• miért hasznos az eigendecomposition?
• mátrix inverz
• a mátrix teljesítménye
• a sajátendekompozíció tulajdonságai
• hogyan kell kiszámítani a sajátendekompozíciót?
• teljesítmény iteráció
• QR algoritmus

hogy micsoda?

saját vagy saját. A lineáris algebrában a sajátérték, a sajátvektor és a sajátendekompozíció olyan kifejezések, amelyek eredendően kapcsolódnak egymáshoz. Az Eigendecomposition az a módszer, amellyel egy négyzetes mátrixot sajátértékeire és sajátvektoraira bontunk. Egy $a$ mátrix esetében, ha$$ \ begin{equation}a \ mathbf{v}= \ lambda \ mathbf{v} \ label{EQ: Avlv}\end{equation}$$akkor $\mathbf{v}$ A $a mátrix sajátvektora és$ \lambda $a megfelelő sajátérték. Ez azt jelenti, hogy ha a $a$ mátrixot megszorozzuk egy vektorral, és az eredmény ugyanazon vektor skálázott változata, akkor ez egy $a$ sajátvektor, és a méretezési tényező a sajátértéke.

saját összetétel

tehát hogyan találjuk meg a mátrix sajátvektorait? Tól től $ \ eqref{eq: Avlv}$:$$a\mathbf{v}-\lambda I \mathbf{v} = 0$$$$\begin{equation}(A -\lambda I) \mathbf{v} = 0\label{EQ: AlI}\end{equation},$$ahol $i$ az identitás mátrix. A $ \ lambda$ értékei, ahol $ \ eqref{EQ: AlI}$ tartások a $a$sajátértékei. Kiderül, hogy ez az egyenlet egyenértékű:$$ \ begin{equation}det (a – \lambda I) = 0,\label{EQ:detAlI} \ end{equation}$$ahol det () a mátrix meghatározója.

bizonyíték arra, hogy $det (a – \ lambda I) \ equiv (A- \ lambda I) \ mathbf{v}=0$

példa

nézzük meg a mátrix sajátszerkezetét:$$a= \ left$$From $ \ eqref{EQ: detAlI}$:$$det \ left (\left \ right) = 0$$$$(1-\lambda)(3-\lambda) = 0$$közvetlenül $\lambda_1 = 1$ és $\lambda_2 = 3$. A fenti kifejezést általában egy mátrix jellegzetes polinomiális vagy jellegzetes egyenletének nevezik.
ha $\lambda_1$ – t csatlakoztatunk $\eqref{EQ:Avlv}$ – hoz, megkapjuk:$$ \ left \ left= 1 \ left$$ahonnan $v_{11} = -2v_{12}$ – t kapunk. Vagyis bármely vektor $ \ mathbf{v_1} = $ ahol $v_{11} = – 2v_{12}$ egy sajátvektor $a$ val vel sajátérték 1.
ha $\lambda_2$ – t csatlakoztatunk a $\eqref{eq:Avlv}$ – hoz, akkor megkapjuk:$$\left\left= 3 \left$$ – t, amelyből $v_{21} = 0$ és $v_{22} \in \mathbb{R}$. Vagyis bármely vektor $ \ mathbf{v_2} = $ ahol $v_{21} = 0$ egy sajátvektor $a$ sajátérték 3.

miért hasznos az eigendecomposition?

az előző példánkra hivatkozva mind a sajátvektorokat, mind a sajátértékeket egyetlen mátrixegyenletben összekapcsolhatjuk:$$A\left = \left\left =\left\left =\left\left$$ha helyettesítjük:$$\Lambda = \left$$$V = \left$$az is igaz, hogy:$$AV = V\Lambda$$$$$\begin{equation}A = V\Lambda v^{-1}\label{EQ:AVLV}\end{equation}$$Eigendecomposition egy $a$ mátrixot bomlik le a $v$ sajátvektorok mátrixának szorzatává és egy $v$sajátértékek átlós mátrixa $ \lambda$. Ezt csak akkor lehet megtenni, ha a mátrix átlós. Valójában az átlós mátrix meghatározása $a \in \ mathbb{R}^{n \ times n}$ az, hogy sajátvektorokká alakítható, így $V^{-1}AV = \Lambda$.

mátrix inverz sajátkompozícióval

tól től $\eqref{eq:AVLV}$:$$A^{-1} = V \Lambda^{-1}V^{-1}$$$a$ \Lambda $ inverze csak az egyes átlós elemek inverze (a sajátértékek).

egy mátrix ereje sajátgendekompozícióval

tól től $\eqref{eq:AVLV}$:$$a^2 = V \Lambda V^{-1} V \Lambda V^{-1} = V \Lambda^{2} V^{-1}$$$$$a^n = V \Lambda^n v^{-1}$$$ a $ \Lambda $ ereje csak a minden átlós elem. Ez sokkal egyszerűbbé válik, mint az a szorzása.

a saját összetétel tulajdonságai

• $det(a)=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i$ (az a meghatározója megegyezik a sajátértékeinek szorzatával)
• $tr(A)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i$ (az A nyoma megegyezik a sajátértékeinek összegével)
• a $A^{-1}$ sajátértékei $\lambda_i^{-1}$
• a $A^{n}$ sajátértékei $ \ lambda_i^{n}$
• általában a $f(a)$ sajátértékei $f(\lambda_i)$
• a $A^{-1}$ sajátvektorai megegyeznek a $a$sajátvektoraival.
• ha $a$ remete (konjugált transzponálása megegyezik önmagával) és teljes rangú (minden sor vagy oszlop lineárisan független), akkor a sajátvektorok kölcsönösen ortogonálisak (bármely két sajátvektor közötti ponttermék nulla) és a sajátértékek valósak.
• $a$ invertálható, ha minden sajátértéke eltér a nullától és fordítva.
• ha a $A$ mátrix sajátértékei megkülönböztethetők (nem ismétlődnek), akkor A sajátkomponálható.

hogyan kell kiszámítani a saját kompozíciót?

a jellemző polinomiális kiszámítása, majd a sajátértékekhez viszonyított megoldása a mátrix méretének növekedésével nem praktikus. A gyakorlatban iteratív algoritmusokat használnak a mátrix sajátdekompozíciójára.

teljesítmény iteráció

teljesítmény iteráció egy iteratív módszer a legmagasabb sajátérték és a hozzá tartozó sajátvektor kiszámításához. Csak a legmagasabb érték / vektor található, így ez a módszer korlátozott használat.

először néhány vektorral kezdjük $b_0$, amely lehet a domináns sajátvektor vagy egy véletlenszerű vektor képzett kitalálása. Ezután ismételje meg a következő egyenletet:$$b_{k+1} = \frac{a b_k}{\left\Vert a b_k \right\Vert}.$$Minden iterációnál a vektor balra szorozva $a$ Mátrixszal és normalizálva konvergál a domináns sajátvektorhoz. Ez a módszer csak akkor működik, ha:

• $a$ sajátértéke nagyobb vagy egyenlő az összes többivel.
• Vektor $b_0$ nem nulla komponenssel rendelkezik a domináns sajátvektor irányában (azaz ponttermékük eltér a nullától)

a példamátrix $a$ és a kezdeti Vektor használata:$$b_0 = \ left$$az első lépéshez:$$b_1 = \frac{\left\left}{\left\Vert\left\left\right\Vert}= \frac{\left}{5} = \left$$a következő lépésekhez használja újra az utolsó $B$ – t és:$$b_2= \left, b_3= \left, b_4=\left, b_5= \left$$és$$ \left\Vert A b_5 \right\Vert = 2.99$$ ha visszaemlékszik, a legmagasabb sajátérték $a$ értéke 3, sajátvektora pedig $\mathbf{V} = $, ahol $v_{21} = 0$ és $v_{22}$ bármilyen értékű lehet.

QR algoritmus

a QR algoritmus a QR bomlást iteratív módon használja a saját összetétel elkészítéséhez. Emlékezzünk arra, hogy a QR-bomlás egy $a$ mátrixot egy ortogonális $Q$ mátrixra és egy felső háromszög mátrixot $R$ as $a = QR$ – ra bomlik.