Hvad jeg har lært af mange års undervisning Calculus til Førsteårscollege studerende

hvad jeg har lært af mange års undervisning Calculus

til førsteårs universitetsstuderende

AMTNJ konference

at holde matematik på sporet: bygge bro

mellem gymnasiet og College matematik

januar 14, 2005

Brookdale Community College

Joseph G. Rosenstein (Rutgers)

Hvorfor har så mange førsteårsstuderende problemer medberegning, når de synes at være godt forberedt?

sidste gang jeg underviste i første semester calculus 41% af61 studerende i klassen endte med karakterer af C eller værre.

her er nogle flere data. 82% af eleverne i klassen havde et semester eller mere af calculus igymnasiet, og 73% havde et år eller mere af calculus i gymnasiet. (35% havde endda et år med AP-beregning.) Af alle konti er dette en gruppe der ervelforberedt til college calculus.

den dårlige nyhed er, at hvis vi sætter dataene sammen, kan vikonkludere, at mindst 23% af mine elever havde taget et calculus kursus i gymnasiet endnu ikke havde formået at gøre det bedre end C i et calculus kursus incollege.

Hvorfor er der så mange studerende, der har taget substantialmath-kurser i gymnasiet, men som ikke lykkes i beregningen?

i denne korte tale vil jeg diskutere tre slags spørgsmål –indhold, proces og personlige problemer – alt om cirka 15 minutter og derefter åbnegulvet til diskussion.

under “indhold” er hovedproblemet ikke, at eleverne ikke gør detforstå begreberne calculus,det er, at de ikke har facilitet med aritmetik og algebra.

en studerende bemærkede engang, at et bestemt probleminvolverede det, han kaldte “intens algebra” – hvorved han mente, at han måtte trække meget af sin algebra-viden til at udføre beregningerne i et enkelt problem. Dette sker for eksempel, når eleverne skal finde derivatet af funktionen f(H) =1/(H+3) fra definitionen – det vil sige som i gennemsigtigheden, skal defind grænsen for en forskelskvotient, da h går til nul. Tænk på de skridt, de skal tage tilløse dette problem. De skal:

skrive et korrekt udtryk for f(H+h) i betragtning af ligningenfor f (H);

Kombiner to fraktioner i tælleren til en enkeltfraktion;

kombiner en sum og forskel på vilkår;

transformer en brøkdel, der har en brøkdel i tællerenind i en, der ikke gør det;

find en fælles faktor for tælleren og nævneren ogannuller det ordentligt;

tag en grænse og udtryk resultatet i den passendeform.

ikke kun skal de være i stand til at udføre hvert af dissetrin individuelt, de har også brug for et fungerende overvågningssystem på højt niveau, der ser det “store billede”, der er involveret i at finde derivatet, og detfortæller dem, hvad de skal gøre på hvert trin.

alligevel begår mange af dem stadig fejl, der har været vedvarende siden middelklasser – for eksempel forkert annullering af vilkår overtrædelser.

et spørgsmål som dette er givet på midtvejsrunden og på den endelige eksamen, og selv om de alle ved, at det er det, de forventes at være i stand til at gøre, mange af dem er ude af stand til at fuldføre opgaven korrekt.

når vi taler om NCTM-standarderne, handler vi ofte som omprocesstandarderne har erstattet indholdsstandarderne, den forståelsehar erstattet facilitet. Det er ikke tilfældet. Vi ønsker at fokusere på ræsonnement og problemløsning, men vi ønsker også, at vores studerende skal have den passende facility med matematiske operationer.

hvilken facilitet er “passende”? Det afhænger af den studerende. De, der kommer til at ende med at tage fleremestre af calculus på college, er helt sikkert en ulempe, hvis de harvanskeligheder med aritmetik og algebra.

på den anden side dem, der næppe vil fortsætte med at beregnevil ikke have brug for intens algebra. Men at antage, at en bestemt studerende er i denne kategori, kan ende med at blive en selvopfyldende profeti.

en digression på algebra færdigheder. Mange mennesker har kritiseret Rutgers ‘ placement test med den begrundelse, der ikke er i overensstemmelse med standarderne, med ourreform indsats, da den fokuserer på færdigheder. Men jeg må fortælle dig, at det er et godt mål for sandsynligheden forsucces i precalculus og calculus, og har været det i løbet af de sidste 20 år, siden vi introducerede det. Det måler elevernes facilitet med de forudsatte færdigheder … fordi facilitet med forudsætningerne er afgørende for succes i disse kurser.

jeg vil dele med dig min personlige oplevelse. For nogle år siden scorede en af mine døtrelige under afskæringen for precalculus. Da jeg har en lille smule indflydelse, jeg var i stand til at tilmelde hende inprecalculus, ræsonnement, at hvis hun havde problemer, hun havde adgang til agood tutor. Det var korrekt … men det var også en fejl – jeg endte med at gøre meget af vejledning. Hun var ikke klar tilprecalculus.

det er slutningen på digressionen.

nu er der behov for en afklaring. Når vi siger, at facilitet i algebra er afgørende for succes i calculus, mener vi ikke bare at lære regler foralgebraiske manipulationer. Facility inalgebra betyder også at forstå den matematik, der ligger til grund for demregler. Når eleverne laver fejl, er de ofte et resultat af misforståelse af matematikken, og vi skal alle bruge mere tid på at afdække de forkerte ideer, der førte til disse fejl, og hjælpe eleverne med at erstatte dem med mere præcise matematiskeforståelser. Det betyder at diskuterefejl i klassen og med eleverne individuelt og ikke bare markere demforkert på deres lektier og prøver.

facilitet i algebra betyder også at kunne trække på en ‘ sentire matematisk oplevelse for at finde ud af et passende næste skridt i aproblem – det er det, jeg omtalte ovenfor som overvågning af ens fremskridt …at vide, hvad man skal gøre næste.

det bringer os til “procesproblemer”.

vi har alle en tendens til at opdele det, vi lærer –dels fordi vi støder på nye oplysninger lineært, og vi er nødt til at gemme detet sted. Men det er meget vigtigt atlæring være forbundet. Alt, hvad vi kan gøre som lærere for at skabe forbindelser mellem emner, for at fokusere eleverne på det store billede, er meget vigtigt.

at give eksempler og lektieproblemer, der forbinder forskelligebegreber er vigtige, ligesom det er at give regelmæssige kumulative undersøgelser. Ellers lærer eleverne, hvad de skal vide for denne uges spørgsmål og så glemmer det.

i nogle skoler belønnes elevernes succes ved at undtage dem fra midtvejs-og afsluttende eksamener. Imener, at denne praksis er en alvorlig fejl-de studerende får ikke en chanceat samle de forskellige videnstykker, de har erhvervet. Desuden forbereder det dem ikke til de kumulative undersøgelser, der er rutinemæssige på college. Langs disse linjer, en rapport udgivet for tre uger siden bemærkede, at det at tage AP-beregning i gymnasiet ikke var en forudsigelse for succes på college, skønt at score godt på AP-eksamen var.

vi er nødt til at hjælpe vores studerende med at få det store billede. En del af det indebærerdecompartmentalisering og integration af viden, som vi har diskuteret. Men der er også et par andre aspekter.

man opfordrer eleverne til at have multipleperspektiver. For eksempel bør devære bekendt med forskellige aspekter af ideen om en funktion – som en ligning som regel som en graf,som en tabel, som en input-output maskine – og være i stand tilFlyt frem og tilbage mellem disse repræsentationer.

tilsvarende skal de kunne bevæge sig frem og tilbage mellem algebra og geometri. Nårdiskuterer løsningen af samtidige lineære ligninger, bør de erkendeat det er det samme som at spørge, hvor to linjer krydser. Når du giver en kvadratisk funktion, skal de være i stand til at visualisere den parabola, den definerer – måske ikke alle detaljer,men de skal helt sikkert være opmærksomme på, at det er definerer en parabola, og ved, om den åbner op eller ned. Ikke alene skal de kunne visualisere en parabola, de skalfaktisk gøre det. Ligningen og tegrafen skal være to visninger af det samme objekt.

og når du finder løsningerne i en kvadratisk ligning,skal de være i stand til at oversætte det med facilitet til grafen for den kvadratiske funktion – så hvis rødderne af en kvadratisk funktion er for eksempel 3 +/- kvrt2, skal de være i stand til at forestille sig, hvor grafen for funktionen krydser h-aksen.

på den første dag i klassen giver jeg eleverne et lille skrotpapir – 1/8 af et 8, 5h11 ark og bede dem om at finde vinklens tangenthvis sinus er 3/5. Nogle af eleverne tegner en trekant; næsten allefå derefter det rigtige svar. Nogle afstuderende tegner ikke en trekant, ingen af dem får det rigtige svar.

da jeg ikke beder dem om at sætte deres navne på papirerne, kan Ikan ikke relatere løsninger på dette problem til deres karakterer i kurset, men myguess er, at der ville være en høj grad af sammenhæng. Studerende, der kan visualisere algebra, hvem kanflytte let fra algebra til geometri og tilbage, vil sandsynligvis være vellykket incalculus.

på anden klasse rapporterer jeg til eleverne resultaterneaf dette eksperiment og forstærker betydningen af visualisering. Jeg opfordrer dem til at tænde deresvisualiseringskontakt, så de tegner et billede i deres sind af hvert algebraisk udtryk, der er i deres bog eller på tavlen.

jeg påpeger, at et billede kan indeholde en masseinformation. For eksempel, hvis de kan visualisereog fortolke graferne for sinus–, cosinus-og tangentfunktionerne, så behøver de kun at huske tre fakta-at synde 30 = liter, at tan 45 =1, og deti2h + cos2h =1 . Næsten alt andet, de har brug for at vide om trigonometri, kan afledesfra disse. Især gør de det ikkenødt til at huske mange og mange fakta. Det er, hvad de bliver nødt til at gøre, hvis de ikke forstår billederne. Nogle finder det svært at tro, og persistin forsøger at huske masser af fakta om trigonometriske funktioner. Det er ikke underligt, at de nogle gange føler detderes hoveder er fulde.

der er omkring et dusin billeder, der indkapsler meget afførste semester calculus – hvis du forstår og kan forklare, hvad der er i dembilleder, så vil du gøre det meget godt i calculus. Det har de også svært ved at tro på.

et andet spørgsmål, som jeg kort vil nævne, er, at eleverne skal have en bedre fornemmelse af, om et svar, de genererer, er rimeligt. En forudsætning for det er selvfølgelig, at de rent faktisk spørger sig selv, om deres svar er rimelige. Faktisk, hvis de spørgerselv spørgsmålet, vil de sandsynligvis svare korrekt. Så målet er at få dem til at spørge detspørgsmål – er det svar rimeligt?

endelig skal eleverne have sans for matematik somsprog. Matematik har ord ogsymboler og regler om deres brug. Vi ignorerer ofte matematikens grammatik og giver vores studerende mulighed for at tale og skrive matematik forkert – en praksis, der ikke ville være tilladt i en Spanskklasse. Så de ender med ikke at brugeforældre, når de skal og gør alle mulige fejl som følge heraf. De bruger ikke ligetegnet til at adskillelige udtryk i deres matematiske sætninger, og som følge heraf mængdervandre ud af et udtryk og ind i et andet. Og de kan ofte ikke oversætte deres svar på problemer framatematisk sprog til engelsk. Dette problem kræver mere opmærksomhed fra alleaf os.

og nu kommer vi til det, jeg kaldte personlige problemer. Jeg vil komme med fire bemærkninger. Den ene er, at mange studerende kommer til firstsemester calculus tænker, at de kender calculus allerede. Det kan være sandt – men det er kun sandt fornogle af dem. Det er dog en farlig antagelse for dem, der trordette vil ikke gøre noget i de første fire uger af semesteret … og såfind at det er for sent at indhente.

vær venlig at advare dine elever om, at selvom de kan være succesfulde i dit kursus, vil de ikke automatisk få succes i acourse med samme titel på college. Selvom begge kurser dækker det samme materiale, går collegekursetind i mere dybde.

et andet punkt er, at eleverne skal vide, at de vilskal arbejde på college. Nogle af dem vil være i stand til at klare sig uden for meget arbejde – i hvilket tilfælde de skulle have taget et vanskeligere kursus – men de fleste af dem vil have deres hænder fuldt ud med det kursus, de tager – hvad enten det er beregning eller precalculus ellerselv algebra – uanset om de fik en god karakter på det kursus i gymnasiet.

jeg har lært, at den bedste forudsigelse for en god karakter inCalc 1 får en god karakter på den allerførste eksamen. Se på dataene i diagrammet. Det viser, at 86% af de studerende, der scored70% på den første eksamen fik en karakter på C+ eller bedre for kurset. På den anden side fik kun 17% af dem, der havde mindre end 70% på den første eksamen, en karakter på C+ eller bedre for kurset. Konsekvent arbejde betaler sig. Dem, der starter godt og arbejderkonsekvent gør det godt.

studerende i min beregning 1 klasser

efterår 1999, efterår 2000, efterår 2001, efterår 2002

# af studerende	70% eller mere på første eksamen	69 eller mindre ved første eksamen	i alt
endelig karakter: C+ eller højere	74	21	105
afsluttende karakter: C eller lavere	12	102	114
	86	123	219

86% ofthem, der fik 70% eller bedre på den første test fik en C+ eller bedre i løbet;17% af dem, der fik 69% eller værre på den første test, fik en C+ eller bedre i kurset

en anden ting, jeg gør på den første klassedag, er at bede hver elev om at foretage en realistisk vurdering af, hvilken karakter han eller hun forventer at få i kurset – under hensyntagen til alle mulige ting – og aflevere det på en anden lille seddel. Hver studerende forventer uden undtagelse at få en B eller bedre!

jeg rapporterer dette til eleverne på anden klasse og såvis dem dette diagram. Jeg fortæller dem, at de ikke kan starte semesteret og tænke, at fordi de kender formlerne for et par derivater, kender de beregning. Jeg fortæller dem, at de skal starte semesteret med at arbejde oncalculus. Måske gør det enforskel. Jeg fortæller dem, at jeg vil gøre alt, hvad jeg kan for at hjælpe hver enkelt med at få den karakter, som han eller hun håber at få – men i sidste ende er det op til dem.

det er det tredje punkt, jeg vil gøre – eleverne skal læreat tage ansvar for deres egen uddannelse. I gymnasiet ser du demhver dag og kan lokke dem til at tage deres studier alvorligt. Det er fedt. Men når de kommer på college, er de alene, og hvis de har lært at tage ansvar for deres uddannelse, vil de have en hård tid.

jeg er ikke sikker på, hvordan man får dem til at tage ansvar, mender er et beskedent eksperiment, som du måske prøver. Fortæl dem, at du ikke vil indsamle opgaver til de næste touger. Giv dem derefter en eksamen påmateriale. Nogle af dem vil ikke gøre opgaverne og vil gøre dårligt påeksamen. Måske vil deres præstationer på den eksamen formidle til dem, at du ikke indsamler lektierne, ikke skal fortolkes som, at de ikke behøver at gøre det.

et andet aspekt ved at tage ansvar for ens uddannelse er at bede om hjælp og udnytte de muligheder, der er tilgængelige for dem. Færre end 20% af mine studerende kommer nogensinde for at se mig, selvom jeg regelmæssigt opfordrer dem til doso. Færre end 20% af mine elever everemail mig med deres spørgsmål, selv om jeg fortælle dem, at de vil højst sandsynligfå et svar inden for et par timer. Selvom en tredjedel af mine elever vil ende med en D eller F, vil få af dem søge de forskellige former for hjælp, der er tilgængelige for dem.

de fleste studerende har endnu ikke lært, at det er ok for dem at søge hjælp – de har ikke lært, at hvis de har problemer i et kursus, skal de søge hjælp så hurtigt som muligt. De skal vide, at ventetiden ikke er en godstrategi. Måske din fortæller, at tothem vil gøre en forskel.

det bringer mig til slutningen af mine bemærkninger. Jeg har talt lidt om indholdsproblemerne,procesproblemerne og de personlige problemer, der forstyrrer elevernes succes i precalculus og calculus kurser, og jeg har givet dig et par forslag til, hvordan du kan hjælpe med at forberede eleverne til at overvinde hindringerne for deres succes.

Mange tak for din opmærksomhed, og vi vil nu haveen diskussion af disse spørgsmål.