Calcolo
In questo argomento, studieremo come integrare alcune combinazioni che coinvolgono prodotti e poteri di funzioni trigonometriche.
Consideriamo i casi \(8\).
Per valutare integrali di prodotti di seno e coseno con argomenti diversi, applichiamo le identità
Integrali della forma \({\large\int\normalsize} {{\sin^m}x\,{\cos^n}xdx}\)
Assumiamo qui che le potenze \(m\) e \(n\) sono interi non negativi.
Per trovare un integrale di questo modulo, utilizzare le seguenti sostituzioni:
Gli integrali del tipo \(\int {{{\sin }^n}xdx} \) e \(\int {{{\cos }^n}xdx} \) può essere valutata mediante formule di riduzione
\
\
Integrali della forma \({\large\int\normalsize} {{\tan^n}xdx} \)
Il potere del integrand può essere ridotto utilizzando l’identità trigonometrica \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) e la formula di riduzione
\
Integrali della forma \({\large\int\normalsize} {{{\culla }^n}xdx} \)
Il potere del integrand può essere ridotto utilizzando l’identità trigonometrica \(1 + {\cot ^n}x = {\csc ^n}x\) e la formula di riduzione
\
Integrali della forma \({\large \ int \ normalsize} {{\sec ^ n} xdx}\)
Questo tipo di integrali può essere semplificato con l’aiuto della formula di riduzione:
\
Integrali della forma \({\large\int\normalsize} {{\csc^n}xdx} \)
Analogamente agli esempi precedenti, questo tipo di integrali può essere semplificato con la formula
\
Integrali della forma \({\large\int\normalsize} {{\tan^m}x\,{\sec^n}xdx} \)
Integrali della forma \({\large\int\normalsize} {{\cot^m}x\,{\csc^n}xdx} \)
Problemi Risolti
toccare o fare Clic su un problema a vedere la soluzione.
Esempio 1.
Calcola l’integrale \ ({\large \ int \ normalsize} {{\sin ^ 3} xdx}.\ )
Soluzione.
Let \(u = \ cos x,\) \ (du = – \ sin xdx.\ ) Quindi
Esempio 2.
Valuta l’integrale \ ({\large \ int \ normalsize} {{\cos ^ 5} xdx}.\ )
Soluzione.
Facendo la sostituzione \(u = \sin x,\) \(du = \cos xdx\) e usando l’identità \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x,\) otteniamo
Esempio 3.
Trova l’integrale \ ({\large \ int \ normalsize} {{\sin ^ 6} xdx}.\ )
Soluzione.
l’Utilizzo di identità \({\sin ^2}x = {\large\frac{{1 – \cos 2x}}{2}\normalsize}\) e \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\), possiamo scrivere:
Calcolare gli integrali in quest’ultima espressione.
\
Per trovare l’integrale \({\large \ int \ normalsize} {{\cos ^ 3}2xdx},\) facciamo la sostituzione \(u = \ sin 2x,\) \ (du=\)\(2 \ cos 2xdx.\ ) Quindi
Quindi, l’integrale iniziale è
Esempio 4.
Trova l’integrale \(\int {{{\sin }^2}x\, {{{\cos }^3}x} dx}.\ )
Soluzione.
La potenza del coseno è dispari, quindi facciamo la sostituzione
\
Riscriviamo l’integrale in termini di \(\sin x\) per ottenere:
Esempio 5.
Calcola l’integrale \ ({\large \ int \ normalsize} {{{\sin }^2} x\, {{\cos} ^4} xdx}.\ )
Soluzione.
Possiamo scrivere:
\
Convertiamo l’integrand usando le identità
\
Questo produce
Esempio 6.
Valuta l’integrale \(\int {{{\sin} ^3} x\, {{\cos} ^4} xdx}.\ )
Soluzione.
Poiché la potenza del seno è dispari, usiamo la sostituzione
\
L’integrale è scritto come
\
Dall’identità pitagorica,
\
Quindi
Esempio 7.
Valuta l’integrale \(\int {{{\sin} ^3} x\, {{\cos} ^5} xdx}.\ )
Soluzione.
Vediamo che entrambe le potenze sono dispari, quindi possiamo sostituire \(u = \ sin x\) o \(u = \ cos x.\) Scegliendo il minimo esponente, abbiamo
\
L’integrale assume la forma
\
Usando l’identità pitagorica,
\
possiamo scrivere
Esempio 8.
Valuta l’integrale \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos }^3} xdx}.\ )
Soluzione.
\
Da Pitagorica identità,
\
si ottiene, così,