Calculus II – Altro sulle sequenze
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Sezione 4-2 : Maggiori informazioni sulle sequenze
Nella sezione precedente abbiamo introdotto il concetto di sequenza e parlato dei limiti delle sequenze e dell’idea di convergenza e divergenza per una sequenza. In questa sezione vogliamo dare una rapida occhiata ad alcune idee che coinvolgono sequenze.
Iniziamo con alcune terminologia e definizioni.
Data qualsiasi sequenza \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) abbiamo quanto segue.
- Chiamiamo la sequenza crescente se \({a_n} < {a_{n + 1}}\) per ogni \(n\).
- Chiamiamo la sequenza decrescente se \({a_n} > {a_{n + 1}}\) per ogni \(n\).
- Se \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) è una sequenza crescente o \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) è una sequenza decrescente la chiamiamo monotonica.
- Se esiste un numero \(m\) tale che \(m \le {a_n}\) per ogni \(n\) diciamo che la sequenza è limitata sotto. Il numero \(m\) è talvolta chiamato limite inferiore per la sequenza.
- Se esiste un numero \(M\) tale che \({a_n} \le M\) per ogni \(n\) diciamo che la sequenza è limitata sopra. Il numero \(M\) è talvolta chiamato limite superiore per la sequenza.
- Se la sequenza è delimitata sia sotto che sopra, chiamiamo la sequenza delimitata.
Si noti che affinché una sequenza sia crescente o decrescente deve essere crescente / decrescente per ogni \(n\). In altre parole, una sequenza che aumenta per tre termini e poi diminuisce per il resto dei termini NON è una sequenza decrescente! Si noti inoltre che una sequenza monotonica deve sempre aumentare o deve sempre diminuire.
Prima di andare avanti dovremmo fare un rapido punto sui limiti per una sequenza che è limitata sopra e/o sotto. Faremo il punto sui limiti inferiori, ma potremmo altrettanto facilmente farlo sui limiti superiori.
Una sequenza è delimitata sotto se possiamo trovare qualsiasi numero \(m\) tale che \(m \le {a_n}\) per ogni \(n\). Si noti tuttavia che se troviamo un numero \(m\) da utilizzare per un limite inferiore, qualsiasi numero inferiore a\ (m\) sarà anche un limite inferiore. Inoltre, solo perché troviamo un limite inferiore che non significa che non ci sarà un limite inferiore “migliore” per la sequenza rispetto a quello che abbiamo trovato. In altre parole, ci sono un numero infinito di limiti inferiori per una sequenza che è limitata al di sotto, alcuni saranno migliori di altri. Nella mia classe tutto quello che sto cercando sarà un limite inferiore. Non ho necessariamente bisogno del miglior limite inferiore, solo un numero che sarà un limite inferiore per la sequenza.
Diamo un’occhiata a un paio di esempi.
- \(\left\{ { – {n^2}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \)
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Questa sequenza è una successione decrescente (e quindi monotona) perché,
\
per ogni \(n\).
Inoltre, poiché i termini della sequenza saranno zero o negativi, questa sequenza è limitata sopra. Possiamo usare qualsiasi numero positivo o zero come limite, \(M\), tuttavia, è standard scegliere il limite più piccolo possibile se possiamo ed è un bel numero. Quindi, sceglieremo \(M = 0\) poiché,
\
Questa sequenza non è limitata al di sotto, poiché possiamo sempre scendere al di sotto di qualsiasi potenziale legato prendendo \(n\) abbastanza grande. Pertanto, mentre la sequenza è limitata sopra di essa non è limitata.
Come nota a margine possiamo anche notare che questa sequenza diverge (a \( – \infty \) se vogliamo essere specifici).
b \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Mostra Soluzione
I termini della sequenza in questa sequenza si alternano tra 1 e -1 e quindi la sequenza non è né una sequenza crescente né una sequenza decrescente. Poiché la sequenza non è né una sequenza crescente né decrescente, non è una sequenza monotonica.
La sequenza è limitata tuttavia poiché è limitata sopra da 1 e limitata sotto da -1.
Ancora una volta, possiamo notare che anche questa sequenza è divergente.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \) Vedi Soluzione
Questa sequenza è una successione decrescente (e quindi monotona), in quanto,
\
I termini di questa sequenza sono tutti positivi e quindi è delimitata seguito da zero. Inoltre, poiché la sequenza è una sequenza decrescente, il primo termine di sequenza sarà il più grande e quindi possiamo vedere che la sequenza sarà anche delimitata sopra da \(\frac{2}{{25}}\). Pertanto, questa sequenza è limitata.
Possiamo anche prendere un limite rapido e notare che questa sequenza converge e il suo limite è zero.
Ora, lavoriamo un paio di altri esempi che sono progettati per assicurarci che non ci abituiamo troppo a fare affidamento sulla nostra intuizione con questi problemi. Come abbiamo notato nella sezione precedente, la nostra intuizione può spesso portarci fuori strada con alcuni dei concetti che vedremo in questo capitolo.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{n}{{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
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iniziamo con il delimitata parte di questo esempio, prima, e poi tornare indietro e affrontare la crescente/decrescente domanda dal momento che è dove gli studenti spesso si fanno errori con questo tipo di sequenza.
Innanzitutto, \(n\) è positivo e quindi i termini della sequenza sono tutti positivi. La sequenza è quindi delimitata sotto da zero. Allo stesso modo, ogni termine di sequenza è il quoziente di un numero diviso per un numero maggiore e quindi è garantito che sia inferiore a uno. La sequenza è quindi delimitata sopra da uno. Quindi, questa sequenza è limitata.
Ora pensiamo alla domanda monotona. In primo luogo, gli studenti spesso commettono l’errore di supporre che poiché il denominatore è più grande il quoziente deve essere decrescente. Questo non sarà sempre il caso e in questo caso ci sbaglieremmo. Questa sequenza sta aumentando come vedremo.
Per determinare la natura crescente / decrescente di questa sequenza dovremo ricorrere alle tecniche di Calcolo I. Per prima cosa considera la seguente funzione e la sua derivata.
\
Possiamo vedere che la derivata prima è sempre positiva e quindi dal Calcolo I sappiamo che la funzione deve quindi essere una funzione crescente. Quindi, come ci aiuta questo? Si noti che,
\
Pertanto, poiché \(n< n + 1\) e \(f\left( x \right)\) è in aumento, possiamo anche dire che,
\
In altre parole, la sequenza deve essere in aumento.
Nota che ora che sappiamo che la sequenza è una sequenza crescente possiamo ottenere un limite inferiore migliore per la sequenza. Poiché la sequenza sta aumentando il primo termine nella sequenza deve essere il termine più piccolo e quindi poiché stiamo iniziando da \(n = 1\) potremmo anche usare un limite inferiore di \(\frac{1}{2}\) per questa sequenza. È importante ricordare che qualsiasi numero che è sempre minore o uguale a tutti i termini della sequenza può essere un limite inferiore. Alcuni sono migliori di altri tuttavia.
Un limite rapido ci dirà anche che questa sequenza converge con un limite di 1.
Prima di passare alla parte successiva c’è una domanda naturale che molti studenti avranno a questo punto. Perché abbiamo usato il calcolo per determinare la natura crescente / decrescente della sequenza quando avremmo potuto semplicemente collegare un paio di \(n\) e determinare rapidamente la stessa cosa?
La risposta a questa domanda è la parte successiva di questo esempio!
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Show Solution
Questa è una sequenza dall’aspetto disordinato, ma deve essere per fare il punto di questa parte.
Innanzitutto, si noti che, come per la parte precedente, i termini della sequenza sono tutti positivi e saranno tutti inferiori a uno (poiché il numeratore è garantito essere inferiore al denominatore) e quindi la sequenza è limitata.
Ora, passiamo alla domanda crescente / decrescente. Come per l’ultimo problema, molti studenti esamineranno gli esponenti nel numeratore e denominatore e determineranno in base a ciò che i termini della sequenza devono diminuire.
Questa tuttavia non è una sequenza decrescente. Diamo un’occhiata ai primi termini per vedere questo.
\
I primi 10 termini di questa sequenza sono tutti in aumento e quindi chiaramente la sequenza non può essere una sequenza decrescente. Ricorda che una sequenza può essere decrescente solo se TUTTI i termini stanno diminuendo.
Ora, non possiamo fare un altro errore comune e presumere che poiché i primi termini aumentano, anche l’intera sequenza deve aumentare. Se lo facessimo ci sbaglieremmo anche perché anche questa non è una sequenza crescente.
Questa sequenza non diminuisce né aumenta. L’unico modo sicuro per vederlo è fare il Calcolo che mi avvicino alle funzioni crescenti/decrescenti.
In questo caso avremo bisogno della seguente funzione e della sua derivata.
\
Questa funzione avrà i seguenti tre punti critici,
\{{30000}} \circa 13.1607, \ hspace{0.25 in}\,\,\,\, x = – \ sqrt {{30000}} \ circa-13.1607\]
Perché i punti critici? Ricordate questi sono gli unici luoghi in cui la derivata può cambiare segno! La nostra sequenza inizia da \(n = 0\) e quindi possiamo ignorare il terzo poiché si trova al di fuori dei valori di \(n\) che stiamo considerando. Inserendo alcuni valori di test di \(x\) possiamo determinare rapidamente che la derivata è positiva per \(0 < x < \sqrt{{30000}} \approx 13.16\) e quindi la funzione sta aumentando in questo intervallo. Allo stesso modo, possiamo vedere che la derivata è negativa per \(x > \sqrt{{30000}} \approx 13.16\) e quindi la funzione diminuirà in questo intervallo.
Quindi, la nostra sequenza aumenterà per \(0\le n \ le 13\) e diminuirà per \(n \ge 13\). Pertanto, la funzione non è monotona.
Infine, si noti che anche questa sequenza convergerà e ha un limite pari a zero.
Quindi, come ha dimostrato l’ultimo esempio, dobbiamo stare attenti nel fare ipotesi sulle sequenze. La nostra intuizione spesso non sarà sufficiente per ottenere la risposta corretta e non possiamo MAI fare ipotesi su una sequenza basata sul valore dei primi termini. Come l’ultima parte ha mostrato ci sono sequenze che aumenteranno o diminuiranno per alcuni termini e poi cambieranno direzione dopo.
Si noti anche che abbiamo detto “primi termini” qui, ma è completamente possibile che una sequenza diminuisca per i primi 10.000 termini e quindi inizi ad aumentare per i restanti termini. In altre parole, non esiste un valore “magico” di \(n\) per il quale tutto ciò che dobbiamo fare è controllare fino a quel punto e poi sapremo cosa farà l’intera sequenza.
L’unica volta che saremo in grado di evitare l’uso di tecniche di Calcolo I per determinare la natura crescente/decrescente di una sequenza è in sequenze come la parte (c) dell’esempio 1. In questo caso aumentando \(n\) solo cambiato (di fatto aumentato) il denominatore e così siamo stati in grado di determinare il comportamento della sequenza in base a quello.
Nell’esempio 2 tuttavia, aumentando \(n\) è aumentato sia il denominatore che il numeratore. In casi come questo non c’è modo di determinare quale aumento “vincerà” e farà aumentare o diminuire i termini della sequenza e quindi dobbiamo ricorrere alle tecniche di Calcolo I per rispondere alla domanda.
Chiuderemo questa sezione con un bel teorema che useremo in alcune delle prove più avanti in questo capitolo.
Teorema
Se \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) è limitato e monotono allora \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) è convergente.
Fai attenzione a non abusare di questo teorema. Non dice che se una sequenza non è delimitata e / o non monotona che è divergente. L’esempio 2b è un buon esempio. La sequenza in quell’esempio non era monotona ma converge.
Si noti anche che possiamo fare diverse varianti di questo teorema. Se \(\left \ {{{a_n}} \ right\}\) è limitato sopra e crescente, allora converge e allo stesso modo se \(\left \{{{a_n}}\ right\}\) è limitato sotto e decrescente, allora converge.