Decomposizione di Cholesky con R Esempio

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metodo di decomposizione di una matrice definita positiva. Una matrice definita positiva è definita come una matrice simmetrica dove per tutti i possibili vettori \(x\), \(x’Ax > 0\). La decomposizione di Cholesky e altri metodi di decomposizione sono importanti in quanto non è spesso fattibile eseguire calcoli di matrice in modo esplicito.

La decomposizione di Cholesky, nota anche come fattorizzazione di Cholesky, è un metodo di decomposizione di una definitematrix positiva. La matrice apositiva-definita è definita come una matrice simmetrica dove per tutti i vettori possibili \(x\),\(x’Ax > 0\). I metodi di decomposizione di Cholesky e othdecomposition sono importanti in quanto non è spesso fattibile calcolare esplicitamente la matrice di matrice. Alcune applicazioni di Choleskydecompositioninclude risolvere sistemi di equazioni lineari, simulazione Monte Carlo, andKalman filtri.

Fattori di decomposizione di Cholesky una matrice definita positiva\ (A\) in:

A A = LL^T

Come decomporre una matrice con decomposizione Cholesky

Esistono molti metodi per calcolare una decomposizione della matrice con l’approccio Cholesky. Questo post ha un approccio simile a questoimplementazione.

I passaggi nel factoring della matrice sono i seguenti:

  1. Calcola \(L_1 = \ sqrt{a_{11}}\)

  2. Per \(k = 2, \ punti, n\):

  3. Trovare \(L_{k-1} l_k = a_k\) per \(l_k\)

  4. \(l_{kk} = \sqrt{a_{kk} – l_k^T l_k}\)
  5. \(L_k =
    \begin{bmatrix} L_{k-1} & 0 \\ l_k^T & l_{kk}\end{bmatrix}

    \)

Un Esempio di Decomposizione di Cholesky

si Consideri la seguente matrice \(A\).

A A = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end {bmatrix}

La matrice \(A\) sopra è tratta dall’esercizio 2.16 nel libro Methods ofMultivariate Analysis di Alvin Rencher.

Inizia trovando \(L_1\).

$$ L_1 = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{3} = 1.732051 $$

poi si trova un \(l_2\)

$$ l_2 = \frac{a_{21}}{L_1} = \frac{4}{\sqrt{3}} = 2.309401 $$

Quindi \(l_{22}\) può essere calcolato.

$$ l_{22} = \sqrt{a_{22} – l_2^T l_2} = \sqrt{8 – 2.309401^2} = 1.632993 $$

ora Abbiamo la \(L_2\) matrice:

$$L_2 = \begin{bmatrix} L_1 & 0 \\ l_2^T & l_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 \ end {bmatrix}

Poiché la matrice è \(3 \volte 3\), abbiamo solo bisogno di un’altra iterazione.

Con \(L_2\) calcolate, \(l_3\) può essere trovato:

$$ l_3 = \frac{a_3}{L_2} = a_3 L_2^{-1} = \begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 3 \\ 6\end{bmatrix}$$
$$l_3 = \begin{bmatrix} 1.7320508 \\ 1.224745 \end{bmatrix}$$

\(l_{33}\) è poi trovata:

$$ l_{33} = \sqrt{a_{33} – l_3^T l_3} = \sqrt{9 – \begin{bmatrix}1.7320508 & 1.224745\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1.7320508 \\ 1.224745\end{bmatrix}} = 2.12132 $$

Che ci dà la \(L_3\) matrice:

$$L_3 = \begin{bmatrix} 1.7320508 & 0 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 & 0 \\ 1.7320508 & 1.224745 & 2.12132\end{bmatrix}$$

I \(L_3\) matrice può quindi essere preso come una soluzione. Trasposizione thedecomposition cambia la matrice in una matrice triangolare superiore.

Decomposizione di Cholesky in R

La funzione chol() esegue la decomposizione di Cholesky su matrice apositiva-definita. Definiamo la matrice \(A\) come segue.

A = as.matrix(data.frame(c(3,4,3),c(4,8,6),c(3,6,9)))colnames(A) <- NULLA
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

Quindi fattore la matrice con la funzione chol().

A.chol <- chol(A)A.chol
## ## 1.732051 2.309401 1.732051## 0.000000 1.632993 1.224745## 0.000000 0.000000 2.121320

La funzione chol() restituisce una matrice triangolare superiore. Trasposizionela matrice decomposta produce una matrice triangolare inferiore come nel nostro resultabove.

t(A.chol)
## ## 1.732051 0.000000 0.00000## 2.309401 1.632993 0.00000## 1.732051 1.224745 2.12132

Il nostro risultato sopra corrisponde all’output della funzione chol().

Possiamo anche mostrare l’identità \(A = LL ^ T\) con il risultato.

t(A.chol) %*% A.chol
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

Sommario

La decomposizione di Cholesky viene spesso utilizzata quando il calcolo diretto di una matrice non è ottimale. Il metodo è impiegato in una varietà di applicazioni come l’analisi multivariata a causa della sua natura e stabilità relativamente efficienti.

(2011). Estratto dahttp://www.seas.ucla.edu/~vandenbe/103 / lectures / chol.pdf

Algoritmo per la decomposizione di Cholesky. Nel 2016 è stato pubblicato il primo album in studio del gruppo musicale statunitense Cholesky Decomposition, pubblicato nel 2016. In Wikipedia. Estratto fromhttps: / / it.wikipedia.org / wiki / Cholesky_decomposition

Rencher, A. C. (2002). Metodi di analisi multivariata. Il film è stato prodotto da J. Wiley.

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