Modello di Markov nascosto: definizione e panoramica semplici

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Il modello di Markov nascosto (HMM) è un modo relativamente semplice per modellare i dati sequenziali. Un modello di Markov nascosto implica che il modello di Markov sottostante i dati è nascosto o sconosciuto all’utente. Più specificamente, conosci solo i dati osservazionali e non le informazioni sugli stati. In altre parole, esiste un tipo specifico di modello che produce i dati (un modello di Markov) ma non si sa quali processi lo stanno producendo. Fondamentalmente usi la tua conoscenza dei modelli di Markov per fare un’ipotesi istruita sulla struttura del modello.

Che cos’è un modello Markov?

Per scoprire il modello Markov nascosto, devi prima capire cos’è un modello Markov in primo luogo. Qui creerò un semplice esempio utilizzando due elementi che sono molto familiari in probabilità: dadi e sacchetti di palline colorate.

I componenti del modello, che utilizzerai per creare il modello casuale, sono:

• Un dado rosso a sei facce.
• Un dado nero a dieci lati.
• Un sacchetto rosso con dieci palle. Nove palle sono rosse, una è nera.
• Un sacchetto nero con venti palle. Una palla è rossa, diciannove sono nere.

“Nero” e “Rosso” sono i due stati in questo modello (in altre parole, puoi essere nero o puoi essere rosso).
Ora crea il modello seguendo questi passaggi:

1. PASSO DI EMISSIONE: rotolare un dado. Nota il numero che viene in su. Questa è l’emissione. Nel grafico sopra, ho scelto un dado rosso per iniziare (arbitrario-avrei potuto scegliere il nero) e ho rotolato 2.
2. PASSAGGIO DI TRANSIZIONE: scegli a caso una palla dalla borsa con il colore che corrisponde al dado che hai rotolato nel passaggio 1. Ho tirato un dado rosso, quindi ho intenzione di scegliere una palla dalla borsa rossa. Ho tirato fuori una palla nera, quindi passerò al dado nero per la prossima emissione.

È quindi possibile ripetere questi passaggi per un certo numero di emissioni. Ad esempio, ripetere questa sequenza di passaggi 10 volte potrebbe fornire il set {2,3,6,1,1,4,5,3,4,1}. Il processo di transizione da uno stato all’altro è chiamato processo di Markov.

La transizione dal rosso al nero o dal nero al rosso comporta diverse probabilità in quanto vi sono diversi numeri di palline nere e rosse nelle borse. Il diagramma seguente mostra le probabilità per questo particolare modello, che ha due stati (nero e rosso):

Hidden Markov Model Notation

λ = (A,B,π), è una notazione abbreviata per un HMM. Altra notazione è usata nei modelli nascosti di Markov:

• A = probabilità di transizione di stato (aij)
• B = probabilit matrice (bj(k))
• N = numero di stati del modello di {1,2…N} o lo stato al tempo t →st
• M = numero di distinte osservazione simboli per stato
• Q = {q0, q1, . . . , qN-1} = stati distinti del processo di Markov
• T = lunghezza della sequenza di osservazione
• V = {0, 1, . . . , M-1} = insieme di possibili osservazioni
• O = (O0, O1,. . . , OT -1) = sequenza di osservazione
• π = distribuzione di stato iniziale (ni)
• s = stato o sequenza di stato (s1, s2 s sn)
• xk = stato nascosto
• zk = osservazione.

Tre problemi di base

Tre problemi di base possono essere risolti con i modelli Markov nascosti:

1. Dato il modello nascosto di Markovλ = (A, B, π) e una sequenza di osservazioni O, trova la probabilità di un’osservazione P(O | λ). Questo è talvolta chiamato il problema di valutazione.
2. Dato il modello di Markov Nascostoλ = (A, B, π) e una sequenza di osservazione O, trova la sequenza di stato più probabile (s1, s2 s sn). Questo è talvolta chiamato un problema di decodifica.
3. Trova una sequenza di osservazione (O1, O2 On On e Hidden Markov Model λ = (A, B, π) che massimizza la probabilità di O. Questo è talvolta chiamato un problema di apprendimento o Problema di ottimizzazione.

Rabiner, L. R. “A tutorial on hidden Markov models and selected applications in speech recognition”, Proceedings of the IEEE, vol.77, pp. 257-286, febbraio. 1989.
Timbro, M. (2013). Un’introduzione rivelatrice ai modelli nascosti di Markov. Estratto 8/6/2013 da: http://www.cs.sjsu.edu/~stamp/RUA/HMM.pdf

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